Энтропия Беккенштейна.

Зная температуру черной дыры, можно вывести формулу для её энтропии. Рассмотрим малый прирост массы черной дыры на 𝑑𝑀. Тогда по формуле Эйнштейна:
𝑑𝐸 = 𝑑M × 𝑐²

Из термодинамики мы знаем, что:
𝑑𝐸 = 𝑑𝑆 × 𝑇

Подставим в формулу температуру Хокинга и получим:
𝑑𝑀 × 𝑐² = 𝑑𝑆 × ℏ𝑐³ / (8𝜋𝐺𝑀𝑘)

Отсюда:
𝑑𝑆 = (8𝜋𝐺𝑘 / ℏ𝑐) × 𝑀𝑑𝑀

Проинтегрируем обе части:
𝑆 = (4𝜋𝐺𝑘 / ℏ𝑐) × 𝑀²

Теперь выразим 𝑀 через радиус Шварцшильда 𝑅ₛ:
𝑀 = 𝑅ₛ𝑐² / 2𝐺
𝑆 = 𝜋𝑘𝑐³𝑅ₛ² / ℏ𝐺

Теперь подставим в формулу планковскую длинну:
𝐥ₚ² = ℏ𝐺 / 𝐜³
и площадь горизонта событий черной дыры через ее радиус 𝑅ₛ:
𝐴 = 4𝜋𝑅ₛ² 

Получим каноническую формулу для энтропии черных дыр, которую вывел Джейкоб Беккенштейн в 1972 году:
𝐒 = 𝒌𝐀 / 4𝐥ₚ²

Эта формула показывает, что энтропия черной дыры пропорциональна площади её горизонта событий. Давайте переведём энтропию в биты, воспользовавшись формулой из прошлого поста:
𝐒₀₁ ≈ 𝐀 / (1.67 · 𝐥ₚ)²

Теперь энтропию черной дыры можно представить как записанные 0 и 1 в ячейки размером 2.7 × 10⁻³⁵ м на поверхности горизонта событий чёрной дыры. Но у чёрной дыры энтропия всегда максимальна для её объёма, значит, эта информация будет представлять собой белый шум: единички и нули будут полностью случайны. Поэтому, даже если бы мы смогли «прочитать» всю её энтропию, никакой полезной информации мы бы не получили.

Так как планковская площадь 𝟒𝐥ₚ², которая стоит в знаменателе, это очень маленькое число, то энтропия чёрных дыр очень велика. GPT говорит, что энтропия Солнца составляет около 3.65 × 10³⁵ Дж/К. А энтропия чёрной дыры с массой Солнца составляет уже приблизительно 3.64 × 10⁵³ Дж/К, что на 18 порядков больше. Оценки показывают, что более 99.999999999% всей энтропии наблюдаемой Вселенной может содержаться в чёрных дырах. Поскольку мы выступаем за ускорение производства энтропии, создание и рост чёрных дыр может быть самым эффективным процессом!

#Физика@entropians
#Теория@entropians #Энтропия@entropians #ЧёрныеДыры@entropians