Предел всех вычислений.

Я уже рассказывал вам про такие пределы вычислений, как предел Ландауэра — минимальное количество энергии для стирания 1 бита и предел Ллойда — максимальная скорость вычислений для 1 кг материи. А сегодня я выведу для вас новый предел — сколько всего максимально вычислений (битовых операций) вся Вселенная сможет выполнить за все будущее время?

Оказывается, что такой предел существует и его можно посчитать через космологию. В нашей плоской Λ-вселенной из уравнений Фридмана следует любопытная голографическая связь между динамикой космологического горизонта и вычислительной мощностью материи внутри него.

Возьмём кажущийся горизонт Вселенной (apparent horizon), который в плоской FLRW-вселенной совпадает с радиусом Хаббла: R = c/H. Запишем второе уравнение Фридмана:
Ḣ = - (4πG / c²)(ρ + p). Скорость роста горизонта:
dR/dt = -c · (Ḣ / H²) = -c · [ - (4πG / c²)(ρ + p) ] / H² = (4πG / c) (ρ + p) / H² = (4πG / c³) (ρ + p) R²

Разбиваем плотности энергии, излучением пренебрегаем (Ωᵣ < 0.01%):
ρ = ρₘ + ρₗ
pₘ = 0
pₗ = −ρₗ
⇒ ρ + p = ρₘ = Ωₘ · ρ = Ωₘ · 3c⁴/(8πGR²)

Подставляем в dR/dt:
dR/dt = (4πG/c³) · ρₘR² = (4πG/c³) · Ωₘ · (3c⁴ / (8πG R²)) · R² = (3/2)cΩₘ

Теперь выразим скорость роста энтропии горизонта:
dS/dt = (2πkR/lₚ²) · dR/dt = (2πkR/lₚ²) · (3/2)cΩₘ = (3πkc/lₚ²)ΩₘR = (3πkc⁴/(ħG))ΩₘR

Энергия материи внутри горизонта:
Eₘ = (4π/3)ρₘR³ = c⁴ΩₘR/(2G)

Предел Ллойда для материи:
Ṅₘ = 2Eₘ/(πħ) = c⁴ΩₘR/(πħG)

При этом тёмная энергия энтропию не производит, так как ρₗ + pₗ = 0.

В итоге получаем отношение роста энтропии горизонта к пределу Ллойда материи внутри него:
(dS/dt) / (kṄₘ) = [3πc⁴ΩₘR / (ħG)] / [c⁴ΩₘR / (πħG)] = 3π² ната энтропии на каждую ортогональную операцию.

Мы получили аналитически, что за каждый ортогональный тик комптоновской частоты всей материи внутри горизонта Вселенной сам apparent horizon растет ровно на 3π² ната (42.7 бита). Отсюда можно сделать философский вывод, что наша Вселенная самовычислима и хранит всё, что происходило со всей материей, на поверхности своего горизонта в планковских ячейках памяти.

В будущем доля материи Ωₘ → 0, скорость роста горизонта dR/dt → 0, а энтропия горизонта стремится к конечному значению — энтропии де Ситтера: Sₘₐₓ = 3π/(Λlₚ²) = πRₗ²/lₚ² ≈ 3.3·10¹²² нат (4.8·10¹²² бит).

И вот теперь, зная текущий радиус Хаббла мы можем посчитать весь оставшийся объем вычислений Вселенной по формуле: Nₒₛₜ = (Sₘₐₓ − S)/(3π²) = (Rₗ² − R²)/(3πlₚ²) = Sₘₐₓ·Ωₘ/(3π²) ≈ 3.5·10¹²⁰ операций.

Эти 3.5·10¹²⁰ битовых операций — абсолютный максимум, который доступен в нашем мире. В них поместятся все будущее события, которые когда-либо произойдут.

#Наука@entropians
#Пределы@entropians
#Инфофизика@entropians
#Космология@entropians