Энтропия фотонов.

Недавно вы спрашивали у меня: сколько энтропии несут фотоны? Давайте разберемся.

Для этого рассмотрим тепловое излучение абсолютно черного тела, которое является «фотонным газом». Это как идеальный газ, но только состоящий из фотонов. Представьте себе пустой (внутри вакуум) черный ящик, внутреннем объемом V, нагретый до температуры T. Так вот, внутри этого ящика будут тепловые фотоны, которые будут излучаться и поглощаться его стенками.

По аналогии с молекулами газа, фотоны будут иметь распределение по энергиям. Но если энергия молекул идеального газа подчиняется распределению Максвелла—Больцмана, то энергия фотонов подчиняется распределению Бозе—Эйнштейна:
u(λ) = (8πhc / λ⁵) / (e^(hc / λkT) - 1)
где:
u(λ) = спектральная плотность энергии,
λ — длина волны,
c — скорость света,
h — постоянная Планка,
k — постоянная Больцмана,
T — температура.

График этого распределения на картинке к посту.

Проинтегрировав этот график можно найти общую энергию фотонного газа: U = aVT⁴
, где a — радиационная постоянная.

Энтропия считается через дифференцирование общей энергии по T с последующем интегрированием при постоянном объеме:
S = ∫(dU/T) = ∫(4aVT³dT/T) = ⁴/₃ aVT³

Количество фотонов зависит от их спектральной энергии:
n(λ) = u(λ) λ / hc

Интегрирование дает общее число фотонов:
N = βVT³
, где β ≈ 0.37 a / k

Тогда средняя энтропия на один фотон будет равна:
S / N = ⁴/₃ aVT³ / βVT³ = ⁴/₃ a / β ≈ 3.6 k

Если мы эту энтропию переведем в биты то получим в среднем чуть больше 5 бит на один фотон.

Эти 5 бит можно интерпретировать как средняя информация, которую мы можем получить при измерении одного фотона теплового излучения. Из них 1 бит кодирует спин фотона (круговую поляризацию), а оставшиеся 4 бита соответствуют средней неопределенности энергии фотона. В статистическом смысле это отражает «среднюю неопределённость» по распределению Бозе–Эйнштейна.

При этом тепловое излучение имеет максимальную энтропию на один фотон. Любое другое излучение, например с дискретным спектром, имеет энтропию значительно меньше. Когерентное (лазерное) излучение вообще не имеет энтропию, его энтропия равна нулю, а все фотоны одинаковые и никакой классической информации не несут.

На практике же в квантовых компьютерах в одном фотоне кодируют только 1 бит, который соответствует его поляризации. А при передачи данных по классическому оптоволокну или при лазерной связи используют модуляцию по интенсивности или частоте света (амплитудную или частотную). В этом случае на один бит информации приходится сразу много фотонов (то есть сильно меньше 1 бита информации на один фотон).

#Энтропия@entropians
#Физика@entropians