Энтропия идеального газа.

Чтобы лучше понимать энтропию, нужно уметь её рассчитывать. Поэтому сегодня мы проведём очень полезное упражнение по расчёту энтропии в самом простом случае — для идеального газа.

Идеальный газ — это газ одноатомных молекул, условных шариков, которые не могут ни вращаться, ни сжиматься, ни колебаться, а могут только двигаться в сосуде, упруго сталкиваясь друг с другом и со стенками сосуда. Физики пользуются этой моделью, потому что она максимально простая, но при этом неплохо описывает поведение реальных одноатомных газов (например, гелия).

Возьмём кубический сосуд объёмом V и наполним его идеальным газом массой M с температурой T. Массу одной молекулы газа обозначим за m. Тогда количество молекул в сосуде будет N = M/m.

Скорости молекул имеют распределение Максвелла со среднеквадратичной скоростью молекул газа ½mv² = ³⁄₂kT. Средние квадраты компонентов скорости ½mvₓ² = ½kT соответственно. Общая энергия газа является только кинетической эннергией движения молекул:
E = ³⁄₂NkT

Отсюда легко выводится уравнение Клапейрона-Менделеева: pV = NkT Для этого нужно рассчитать давление p маленького слоя Δx газа на стенку сосуда как изменение импульса числа столкнувшихся молекул за малое время Δt.
Вводная часть закончилась, теперь мы рассмотрим два способа для расчёта энтропии.

Первый способ — термодинамический. В термодинамике энтропия определена с точностью до постоянного слагаемого. Поэтому говорят не об абсолютной энтропии, а только об её изменении при изменениях макроскопических параметров системы. У нашей системы это только V и T. Сначала рассмотрим, как меняется энтропия газа при его медленном нагревании при фиксированном объёме. Рассмотрим изменение температуры на малое dT:

dS₁ = dE / T = d(³⁄₂NkT) / T = ³⁄₂Nk·dT/T
Проинтегрируем обе части от T₀ до T и получим:
ΔS₁ = ³⁄₂Nk·ln(T/T₀)

Теперь рассмотрим изменение энтропии при расширении сосуда. Рассмотрим малое изменение объёма на dV при постоянной температуре. Тогда газ совершит работу по расширению p·dV. Учтём, что p = NkT/V:

dS₂ = p·dV / T = Nk·dV/V
Проинтегрируем обе части от V₀ до V:
ΔS₂ = Nk·ln(V/V₀)

Общее изменение энтропии равно сумме ΔS = ΔS₁ + ΔS₂:

ΔS = ³⁄₂Nk·ln(T/T₀) + Nk·ln(V/V₀)

Можно заметить, что эта формула не экстенсивна: при объединение двух одинаковых сосудов в один, энтропия вырастит больше, чем в 2 раза. Чтобы энтропия была экстенсивна, нужно перейти на удельный объем для одной молекулы газа: V/N. Для этого нужно просто переписать:
ln(V/V₀) = ln(V/N : V₀/N)

Теперь если обозначить S₀ = ³⁄₂Nk·ln(T₀) + Nk·ln(V₀/N), то мы получим известную формулу для энтропии идеального газа с точностью до слагаемого:

S = ³⁄₂Nk·ln(T) + Nk·ln(V/N) + S₀

Второй способ расчета энтропии в следующем посте.

#Физика #Энтропия