Энтропия идеального газа (продолжение).

Начало в предыдущем посте.

Теперь давайте рассчитаем энтропию идеального газа, используя информационный подход, определяя энтропию как количество неизвестной информации о системе.

У нашего сосуда с газом мы знаем только объём и температуру. Это всего 2 числа, минимум информации. Информация же о движении каждой молекулы нам неизвестна. Посчитаем объем этой неизвестной информации. У каждой молекулы в данный момент времени есть положение в пространстве и импульс. Это 3 координаты (x, y, z) и 3 компоненты импульса (px, py, pz). Координаты мы измеряем с точностью Δx, а компоненты импульса с точностью Δp.

Сосуд имеет объем V, газ находится в состоянии термодинамического равновесия и все частицы распространены равномерно. Так как частицы неразличимы, то положение каждой частицы определяется только относительного своего локального объема пространства, а не относительно всего сосуда. С учетом этого получаем: Lx·Ly·Lz = V/N

Посчитаем количество информации I в нитах (1 нит = 1 бит / ln(2) ), которая нам требуется, чтобы запомнить координату и импульс одной молекулы:

I = ln(Lx/Δx) + ln(Ly/Δy) + ln(Lz/Δz) + ln(px/Δp) + ln(py/Δp) + ln(pz/Δp) = ln(Lx·Ly·Lz) + ln(px·py·pz) - 3ln(Δx·Δp)

Средние значения компонент импульса равны <px> = <py> = <pz> = √(kTm).

Чтобы получить максимум информации, нужно Δp и Δx брать как можно более маленькими. Минимальное произведение погрешности измерения импульса на координату в соответствии с принципом неопределённости Гейзенберга: Δx·Δp ≥ ℏ/2. Подставляем в нашу формулу и получаем:

I = ln(V/N) + ³⁄₂ln(kTm) - 3ln(ℏ/2) = ln(V/N) + ³⁄₂ln(T) + ³⁄₂ln(km) - 3ln(ℏ/2)

Обозначим I₀ = ³⁄₂ln(km) - 3ln(ℏ/2), тогда:

I = ³⁄₂ln(T) + ln(V/N) + I₀

Общая информация для сохранения координат и импульсов всех молекул равна соответственно N·I. Чтобы получить термодинамическую энтропию, нам нужно эту информацию умножить на постоянную Больцмана k. Получаем:

S = Nk·I = ³⁄₂Nk·ln(T) + Nk·ln(V/N) + Nk·I₀

Мы получили точно такую же формулу, как и в термодинамическом выводе. Но только в отличие от него, здесь мы точно знаем, чему равно I₀, тогда как в термодинамике значение S₀ остаётся неизвестным. Этот пример показывает, что способ вычисления энтропии как количества неизвестной информации не только соответствует термодинамической энтропии, но и даёт возможность вычислить абсолютное значение энтропии.

Если мы объединим всё в один логарифм, то получим:
S = Nk⋅ln((V/N)⋅(4mkT/ℏ²)^³⁄₂)

Обозначим теперь
λ = h / √(2πmkT), как тепловая длина волны де Бройля.

Получим:
S = Nk⋅[ ln(V/Nλ³) + ln(16√2 π^³⁄₂) ]

Что с точностью до константы соответствует уравнению Закура–Тетроде:
S = Nk⋅[ ln(V/Nλ³) + 5/2 ]

#Инфофизика
#Энтропия@entropians