Зачем мне эта математика

Пока русскоязычный сегмент интернета ждёт Яблочный Спас, мы отмечаем более нишевые праздники!

17 июля 🐷 День жёлтой свиньи

Да, такой праздник правда существует. Его придумали математики Дэвид Келли и Майк Спивак, когда в 1960-х были аспирантами в Принстоне.

Почему именно свинья? Достоверного ответа мы не нашли. Но по легенде талисман праздника связан с коллекцией жёлтых свиней одного из парней: говорят, вокруг его дома периодически располагалось от 289 до 4913 таких фигурок. И да, оба числа тоже неслучайные: это 17² и 17³.

Вообще число 17 для многих математиков особенное. Это простое число: его нельзя получить как произведение двух меньших натуральных чисел. А ещё с ним связана известная история про Гаусса. В 1796 году он доказал, что правильный 17-угольник можно построить циркулем и линейкой. А эта задача, между прочим, оставалась открытой со времён древних греков.

Поздравляем вас, дорогие подписчики! Поздравить редакцию — ❤️‍🔥

#меммат

Однажды молодой студент-математик Поль Шатц попал на лекцию Рудольфа Штайнера, создателя антропософии. На этой лекции Штайнер озвучил задачу, которая, по его мнению, стояла перед человечеством:

⏩️понять связь между платоновыми телами и Вселенной⏪️

По его словам, понимание этой связи станет шагом к новому уровню сознания...

*️⃣Платоновы тела — это правильные многогранники. Их всего пять. Они известны с древности и рассматривались как «строительные блоки» материи.

Платон связывал их со стихиями:

▶️тетраэдр — с огнём
▶️куб — с землёй
▶️октаэдр — с воздухом
▶️икосаэдр — с водой
▶️додекаэдр позднее стали связывать с эфиром — элементом, которого в античной системе стихий не было

Шатц воспринял услышанное как личный призыв и начал исследование. После десяти лет изучения платоновых тел он нашёл ответ, исходя из куба. Согласно Платону, куб соответствует стихии земли — возможно, именно эта мысль и указала направление работ Шатца.

Учёный обнаружил, что его можно «разобрать» на три равные по массе части так, что средняя часть — своего рода цепь — оказывается подвижной и может бесконечно выворачиваться: внутренняя часть выходит наружу, проходит через пространство, а затем снова оказывается внутри после полного цикла. В математике это называется инверсией:
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Объясняем,
⠀⠀⠀⠀при чём здесь олоид
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀⠀⠀❓

Шатц продолжил исследование инвертируемого куба и обнаружил важную вещь: ключ скрыт в диагонали куба. Он даже называл её «душой куба».

Если отметить две противоположные вершины куба и соединить их, то при разборке и движении куба эта связь сохраняется. В процессе движения эта линия выходит в пространство.

Если представить её как натянутую нить, то при инверсии куба эта нить остаётся неизменной по длине, но описывает сложную траекторию в пространстве. И оказывается, что за полный цикл эта «нить» вычерчивает форму олоида. Иначе говоря, именно траектория этой диагонали задаёт олоид.

Можно посмотреть на это и с другой стороны. Олоид можно представить как поверхность, натянутую на две окружности. Эти окружности образуют своего рода «скелет» фигуры. Если сопоставить этот «скелет» с инвертируемым кубом, становится видно, что их движения совпадают.

Если снова рассмотреть диагональ, можно увидеть, что эта «нить» вычерчивает половину олоида. А если зафиксировать её положение в разные моменты времени (например, сделать множество «снимков»), то их совокупность образует всю поверхность олоида.

В этой двойственности удивительно то, что движение, лежащее в основе формы, ощущается и в самой форме. Этот принцип, кстати, лежит в основе так называемой органической архитектуры.

Вывод: олоид — это буквально застывший ритм движения куба, который выворачивается наизнанку.

И это заставляет задуматься: простая статическая форма может хранить в себе память о сложном движении. И, судя по всему, таких геометрических тайн внутри самых простых фигур скрывается гораздо больше, чем мы можем представить.

#как_устроено

⏩️Займитесь кинематикой. Она плодотворнее геометрии, потому что добавляет пространству четвёртое измерение — движение⏪️

Это слова русского математика Пафнутия Чебышёва. И, пожалуй, они идеально подходят для рассказа об учёном, чьи работы работы сравнивают с изобретениями Леонардо да Винчи, но имя которого так незаслуженно малоизвестно.

В недавнем посте про треугольник Рёло мы уже немного рассказали о его создателе — Франце Рёло. Сегодня по традиции, посвящаем выдающемуся учёному выдающийся лонгрид.

⠀⠀⠀Немного биографии
⠀⠀⠀⠀ и размышлений
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🤯

Франц Рёло родился в семье механиков и машиностроителей. Он известен тем, что дал строгие определения понятиям «кинематическая пара» и «кинематическая цепь» и показал связь между механикой и конструированием.

Рёло также одним из первых поставил вопрос о форме машин. В его понимании техника была частью культуры и эстетики, а конструирование зависело от не только от расчётов, но и от вкуса инженера.

Он также считал, что одни формы полностью определены функцией: например, винт, зубчатое колесо или профиль нарезки, а другие оставляют инженеру пространство для изменений. Поэтому большое внимание он уделял ритму, пропорциям и гармонии. Хороший механизм для Рёло был полезным и выразительным.

Главная амбиция Рёло шла дальше отдельных теорий. Он хотел разложить все существующие машины на элементарные составляющие и создать своего рода словарь механизмов.

Любую машину, считал он, можно представить как сочетание простых кинематических пар: вращательных и поступательных соединений, винтовых механизмов, шарниров, зубчатых передач. Из них, как из букв алфавита, строятся механизмы, а из механизмов — машины.

Для этой работы Рёло создал несколько сотен физических моделей из бронзы, чугуна и дерева. Каждая показывала базовый способ преобразования движения: кривошипно-ползунные передачи, храповые механизмы, карданные шарниры, кулачки, зубчатые передачи.

Это была коллекция идей, которые сегодня лежат в основе автомобильного двигателя, промышленного оборудования и современных роботов. К концу XIX века Рёло создал около 800 таких моделей. Многие технические университеты Европы покупали их для обучения инженеров.

Спойлер: во время Второй мировой войны большая часть европейских коллекций была уничтожена...
⠀
Парадоксальным образом лучше всего сохранилась та часть, что оказалась дальше всего от Европы. В 1876 году Рёло представил свои модели на Всемирной выставке в Филадельфии. Его идеи о новом инженерном образовании впечатлили представителей Корнеллского университета, и вуз приобрёл крупную часть коллекции.

В начале 2000-х годов их начали восстанавливать, фотографировать, снимать на видео и выкладывать в цифровую библиотеку. Сегодня в Корнелле сохраняется более 230 моделей — крупнейшее в мире собрание моделей Рёло, доступное миллионам посетителей онлайн.

Когда исследователи начали оцифровывать коллекцию, они заметили неожиданное сходство между механизмами Рёло и чертежами Леонардо да Винчи. В Мадридском кодексе встречаются те же кривошипно-ползунные, храповые, кулачковые и винтовые механизмы.

Рёло создал первую строгую систему их классификации. Он связал почти пять столетий инженерной мысли: от эпохи Возрождения и промышленной революции до современной робототехники.

В коллекции есть и модели, демонстрирующие работу треугольника Рёло и других кривых постоянной ширины — той самой геометрии, которая позже найдёт применение в роторных двигателях Ванкеля. Читайте о них здесь!

💬 В карточках спрятали наброски из работ Рёло и некоторые экспонаты из корнеллской коллекции. Рассматривайте и пишите в комментарии, если видели такие штуки где-то ещё!

#история

Самое необычное инженерное решение в истории ⬆️

Паровые машины и классические двигатели внутреннего сгорания объединяет одна особенность: возвратно-поступательное движение поршня нужно преобразовывать во вращение коленчатого вала.

Этот переход даёт потери, вибрации и механический износ. Поэтому инженеры давно искали двигатель, где движение сразу будет вращательным.

Одним из самых радикальных ответов стал двигатель Ванкеля ✏️

В нём классический поршень заменён ротором формы, близкой к треугольнику Рёло. Он вращается внутри камеры особой геометрии и по очереди образует рабочие полости для впуска, сжатия, сгорания и выпуска.

Даже если вы далеки от двигателестроения, советуем погрузиться в историю Феликса Ванкеля.

Он не был классическим академическим инженером — у него не было законченного технического образования. Но с ранних лет самостоятельно изучал механику и двигатели. Существует легенда, что решение задачи пришло семнадцатилетнему Феликсу во сне.

▶️Главная идея Ванкеля заключалась в том, чтобы совместить четыре такта двигателя внутреннего сгорания с непрерывным вращением.

В обычном двигателе поршень ходит вверх-вниз, а затем этот ход превращается во вращение. У Ванкеля ротор сразу движется по вращательной траектории. Кстати, здесь и появляется связь с треугольником Рёло.

Вот как идея развивалась дальше:

🎨🎨🎨🎨 ⠀От прототипа
🎨🎨🎨🎨 ⠀к индустрии
🎨🎨🎨🎨

Первые идеи и прототипы Ванкеля появились ещё в 1920–1930-х годах. Промышленные компании заинтересовались необычной конструкцией, но довести её до серийного производства оказалось сложно.

После войны разработка получила второе дыхание в компании NSU Motorenwerke. Там Ванкель вместе с инженером Вальтером Фройде создал работающий вариант двигателя. Важным этапом стал демонстрационный DKM-54: компактный, мощный и удивительно плавный в работе.

У роторного двигателя были очевидные преимущества. Он занимал меньше места, работал мягче, давал высокую мощность при небольшом объёме и выглядел почти идеальным инженерным решением. Но вместе с красотой конструкции пришли и проблемы: расход топлива, выбросы, износ уплотнений и сложность доводки.

🎨🎨🎨⠀⠀⠀Главный хранитель
🎨🎨🎨🎨⠀роторной идеи
🎨🎨🎨🎨

Им стала Mazda. Компания первой по-настоящему поверила в двигатель Ванкеля и десятилетиями развивала эту архитектуру.

Одним из самых известных автомобилей с таким двигателем стала Mazda RX-7, а позже её наследница Mazda RX-8. RX-8 получила двухроторный двигатель Renesis и стала последней массовой попыткой найти баланс между спортивным характером, надёжностью, экологическими требованиями и расходом топлива.

RX-8 была необычной даже по архитектуре: спортивное купе с четырьмя местами и задними распашными дверями без центральной стойки. Но в 2012 году Mazda свернула её производство. Ужесточение экологических норм и высокий расход топлива оказались слишком серьёзным испытанием для роторной схемы.

🎨🎨🎨🎨🎨Возвращение
🎨🎨🎨🎨🎨в новом виде
🎨🎨🎨🎨🎨

Роторный двигатель не исчез окончательно. Mazda вернулась к нему уже в другом контексте: как к компактному генератору в гибридной системе.

В Mazda MX-30 e-Skyactiv R-EV, представленной в 2023 году, роторный двигатель не приводит колёса напрямую. Он вырабатывает электроэнергию для батареи, а автомобиль движется на электромоторе. Так Mazda использует сильную сторону роторной схемы, компактность, и обходит часть её старых проблем.

Параллельно компания продолжает показывать концепты, где роторная архитектура снова появляется рядом со спортивным образом Mazda. До серийного возвращения RX-линейки ещё далеко, но сам факт важен: идея Ванкеля пережила свой первый закат и нашла новое место в эпоху гибридов.

Такой он, двигатель Ванкеля: слишком красивый, чтобы о нём забыть, и слишком сложный, чтобы стать массовым...

❤️ — если как раз думали, какую машину приобрести

#как_устроено

ЕГЭ математика профиль 2026 с ответами
⠀
Это кликбейт для привлечения внимания к вчерашней задаче… Некоторые из вас уже дали правильные ответы в комментариях. Но мы всё же распишем два варианта решения.

Первый: переберём все возможные варианты по количеству ошибок мальчиков:

⠀
1️⃣Никто из мальчиков не ошибся
⠀
Пусть и Паша, и Саша оба оказались правы. Проблема в том, что утверждения Саши и Паши противоречат друг другу, а значит, этот случай невозможен.

⠀
2️⃣Только один мальчик ошибся
⠀
Тогда, по условию, и только одна девочка ошиблась. Заметим, что этой девочкой может быть только Стеша. В самом деле, если бы Стеша была права, то должны были бы ошибаться все остальные: два мальчика и две девочки, что противоречит рассматриваемому случаю.

Таким образом, Стеша ошибается, а значит, остальные девочки правы. В частности, права Даша, из чего следует, что Паша ошибается. Следовательно, прав Саша, но тогда должна ошибаться и Наташа.

Наташа — вторая девочка, которая ошиблась, что вновь приводит нас к противоречию.

⠀
3️⃣Оба мальчика ошиблись
⠀
Пусть и Паша, и Саша ошибаются. Тогда A, B и E — неверные ответы, а значит, верен либо C, либо D.

По условию должны ошибаться две девочки. Если Наташа права, то верным ответом может быть только D, но тогда права и Даша, а единственная девочка, которая ошибается, — Стеша. Это противоречит нужному количеству ошибок.

Если же Наташа ошибается, то верным ответом может быть только C, а значит, Даша тоже ошибается. Тогда единственная девочка, которая не ошиблась, — Стеша. Это и есть единственный возможный вариант.

Правильный ответ: C

Можно было его получить и другим способом — составить таблицу, где ✅ обозначает истинное утверждение, а ❌ — ложное:

⠀⠀⠀⠀ ⠀ ⠀A⠀⠀⠀B⠀⠀⠀C⠀⠀⠀D⠀⠀⠀E
Даша⠀⠀⠀✅⠀⠀❌⠀⠀❌⠀⠀✅⠀⠀❌
Паша⠀⠀⠀❌⠀⠀✅⠀⠀✅⠀⠀❌⠀⠀✅
Стеша⠀⠀❌⠀⠀❌⠀⠀❌⠀⠀✅⠀⠀✅
Саша⠀⠀⠀✅⠀⠀❌⠀⠀❌⠀⠀❌⠀⠀❌
Наташа ❌⠀⠀❌⠀⠀✅⠀⠀❌⠀⠀❌

Кто без решения дошёл до правильного ответа — отмечайтесь в реакциях ❤️

#задача

Все сдали ЕГЭ? На сколько баллов? Делитесь результатами в комментах 💬

А если для вас это больная тема, то предлагаем вам решить незатейливую задачу про школьников, которые тоже недавно гадали над ответами:

🔸Условие:

Ребята обсуждают ответ на задачу из ЕГЭ.

Верен ответ А или D, — сказала Даша.
Верен ответ В или Е, — сказал Паша.
А, В и С неверно, — сказала Наташа.
Верный ответ А, — сказал Саша.
Все вы не правы, — сказала Стеша.

Оказалось, что мальчики и девочки ошиблись одинаковое количество раз.

🔸Вопрос: какой же ответ верный?

Пишите свои рассуждения и верный ответ в комментарии. Решение опубликуем завтра.

#задача

«Симпсоны», «Футурама» и математика ❤️

Нашли книгу, которая понравится фанатам этих культовых сериалов.

🎨🎨🎨 Симпсоны и их
🎨🎨🎨 математические
🎨🎨🎨 секреты

Книгу написал Саймон Сингх — британский научный журналист, физик по образованию и автор нескольких известных научно-популярных книг. Увы, в продаже книги сейчас нет, но её несложно найти на вторичном рынке.

Поначалу многим эта работа показалась отходом от привычной тематики — уж слишком далёкими друг от друга кажутся сатирические персонажи мультфильма и высокая математика. Однако…

Вы же наверняка слышали истории о том, как сериал успешно предсказывает будущее? Дело в том, что к работе над шоу привлекают консультантов из самых разных научных областей. Поэтому многие сюжетные ходы рождаются из профессиональной интуиции людей с серьёзным техническим образованием.

⠀
Посудите сами, вот список пяти сценаристов шоу:
⠀
▶️Дж. Стюарт Бёрнс — степень магистра по математике, Гарвардский университет.

▶️Дэвид Х. Коэн — степень бакалавра по физике, Гарвардский университет; степень магистра компьютерных наук, Калифорнийский университет в Беркли.

▶️Эл Джин — степень бакалавра по физике, Гарвардский университет.

▶️Кен Килер — докторская степень по прикладной математике, Гарвардский университет.

▶️Джефф Уэстбрук — докторская степень по компьютерным наукам, Принстонский университет.

Кстати, та же команда сценаристов позже работала над «Футурамой», математике которой тоже посвящена отдельная часть книги.

Отдельного упоминания заслуживает Дэвид Х. Коэн — исполнительный продюсер и главный сценарист «Футурамы», а до этого — сценарист и продюсер «Симпсонов».

Одержимый физикой и работающий бок о бок с коллегами, чьё образование охватывает прикладную математику, электротехнику, информатику и химию, Коэн постоянно искал возможность вставить в сценарий «локальную шутку», связанную с наукой и технологиями.

🤯 Но самым показательным результатом этих поисков стала «теорема Футурамы».

Это реальная, уникальная в своём роде математическая теорема, придуманная сценаристом «Футурамы» Кеном Килером специально для использования в эпизоде «Узник Бенды».

Про теорему у нас наберётся отдельный пост. Накидайте 🔥, если хотите подробностей!

Если вам интересно копнуть глубже, есть большое интервью с Килером о математике внутри «Футурамы» на сайте профессора Сары Гринвальд, которая ведёт отдельную страницу, посвящённую математике сериала.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Фан-факт про
⠀⠀⠀серийный номер Бендера
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀👀
⠀
Кен Килер в одном из интервью упоминает о своём переходе от математики к написанию комедийных сценариев в условиях жёсткой конкуренции на рынке труда.

Когда его спросили, окупилось ли его образование, он ответил: «Ну, конечно. Например, серийный номер Бендера — 1729, исторически значимое число для всех математиков; я бы сказал, что одна только эта «шутка» стоит шести лет обучения в аспирантуре».

Энциклопедия Вольфрама даже включила кадр из мультфильма в соответствующую статью по теме.

Смело открывайте книгу Сингха. Она читается легко, и после неё вы уже не сможете смотреть на Гомера Симпсона прежними глазами.

#рекомендуем

Нужна ли программисту математика? Тысячу раз «да»!

Приведём три примера:

⠀
1️⃣ Алгоритмы
⠀
Сортировка данных, поиск нужного элемента, обработка больших списков — это база для всех программистов, но особенно часто с ней работают бэкенд-разработчики и алгоритмисты.

Самый простой пример — приложение, в котором есть сортировка списка (то есть почти любое приложение): каталог товаров, сообщения, пользователи, результаты поиска.

На маленьком списке разница между алгоритмами может быть незаметной. Но если данных становится много, один способ сортировки начнёт тормозить, а другой справится быстрее. Математика помогает заранее оценить, сколько операций понадобится программе.

Это, кстати разбирают методисты Яндекс Лицея в новом курсе по Java.

⠀
2️⃣ Графика
⠀
Пропорции, масштабирование, пересечения объектов — это зона ответственности фронтендеров, мобильных разработчиков и тех, кто занимается геймдевом или интерфейсами.

Пример — картинка, которую нужно уменьшить под экран и не растянуть. Программист тут считает координаты, ширину, высоту, соотношение сторон и границы объектов.

Чаще всего это также нужно в разработке приложений: например, во Flutter, где один интерфейс может работать на мобильных устройствах, в вебе и на десктопе.

⠀
3️⃣ Вычисления
⠀
Большие числа, дроби, округления, ограничения памяти — с этим сталкиваются все программисты, которые пишут код с расчётами.

Компьютер не хранит числа бесконечно точно: у каждого типа данных есть пределы. Если число «не помещается», результат может стать некорректным. А с дробями возможны погрешности из-за округления. Математика и тут помогает понимать, где программа может ошибиться.

Это только несколько примеров, где встречаются программирование и математика. Причём язык может быть любым — Java, Dart, Python — но под капотом всё равно остаются алгоритмы, структуры данных, координаты, логика и числа.

Если вам всё же хочется чистой математики, то напомним про курс по линейной алгебре. Он также доступен бесплатно на сайте Яндекс Лицея ❤️

#рекомендуем

🤯 Он до смерти боялся быть похороненным заживо, поэтому оставил чёткие указания: его тело должно оставаться непогребённым в течение шести дней после смерти. И нет, это не Гоголь...

Это сегодняшний именинник — Готфрид Вильгельм Лейбниц

Когда слышат его имя, обычно вспоминают дифференциалы, интегралы и знаменитый спор с Ньютоном о том, кто первым придумал математический анализ. Но мы расскажем несколько менее очевидных фактов о нём.

▶️Он самостоятельно выучил латынь в восемь лет.

▶️Он изобрёл счётную машину, придумал двоичный код и заложил основы современных вычислительных систем — и всё это, работая на полную ставку дипломатом и юристом.

▶️Он более 20 лет вёл переписку с молодым Петром I, всерьёз предлагая русскому царю проекты научных исследований.

Но самой, пожалуй, противоречивой историей его жизни стала служба герцогу Иоганну Фридриху Брауншвейг-Люнебургскому. Более сорока лет Лейбниц писал семейную хронику для начальства. Сначала он думал, что это будет обычная работа на заказ. Но Лейбниц оказался слишком «честным» учёным…

Вместо того чтобы просто написать красивую родословную, он решил проверять всё по первоисточникам. Он объездил архивы Германии, Австрии и Италии, копировал рукописи, изучал средневековые документы. Работа, которую заказчики рассчитывали получить за несколько лет, превратилась в бесконечный исследовательский проект.

Он постоянно писал работодателям: «Почти закончил». Но «почти» длилось десятилетиями. Эта работа дала Лейбницу свободу общаться с ведущими математиками, переписываться с сотнями учёных, публиковать работы по математике и философии. В этот период он даже основал Берлинскую академию наук.
⠀

⠀⠀⠀⠀⠀История про
⠀мочу, золото и фосфор
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀💬
⠀
В 1669 году гамбургский купец-алхимик Хенниг Бранд решил, что секрет философского камня скрыт в человеческой моче. Он собрал по солдатским казармам около тысячи литров этой самой мочи, долго её выпаривал, дважды перегонял и в итоге прокалил получившийся осадок.

Золота он, конечно, не получил, зато получил светящийся в темноте порошок, который назвал фосфором — «светоносцем». Превратить новое вещество в золото так и не вышло, и тогда практичный Бранд начал просто продавать его — дороже, чем стоило само золото.

Секрет в итоге купили несколько раз подряд разные люди, и одним из покупателей оказался Лейбниц. Он увидел демонстрацию фосфора, проведённую конкурентом Бранда, не смог купить секрет у него и в итоге вернулся прямиком к первоисточнику — снова к Бранду, который, не моргнув глазом, продал свою формулу повторно, на этот раз совсем дёшево.

Когда позже выяснилось, что демонстрации фосфора прошли и в Лондоне, перед Королевским обществом, Лейбниц всерьёз обеспокоился: ему совсем не хотелось, чтобы секрет философского камня оказался в руках у нелюбимой им Англии.

Он всё-таки добился для Бранда места придворного алхимика с неплохим окладом — лишь бы открытие осталось поближе к Ганноверу.

Заветной мечтой Лейбница было создание универсального языка для описания любых знаний. Языка, в котором сложные рассуждения сводились бы к вычислениям.

Он писал, что, если между учёными возникнет спор, им не придётся спорить бесконечно — достаточно будет сказать друг другу: «Давайте посчитаем!»

О последнем упомянутом факте, если честно, можно было бы написать не просто пост, а целую книгу. Ставьте ❤️, если хотите почитать об этом.

#история

Почему математики говорят о себе во множественном числе❓

Откройте почти любой учебник по математике — и через несколько страниц встретите загадочных «нас»:

«Рассмотрим функцию».
«Докажем, что…»
«Отсюда получаем…»

Но кто именно рассматривает и получает? Автор ведь часто работает над текстом один. И читателя в момент написания рядом тоже нет.

Ответ на самом деле простой: «мы» — автор и читатель.

Математический текст редко бывает просто рассказом о готовом результате. Скорее это маршрут, который предлагают пройти вместе. Автор делает один шаг, читатель проверяет его, затем оба переходят к следующему. Если читатель не может повторить этот путь, доказательство не работает.

Поэтому математическое «мы» можно читать как приглашение. Хотя, конечно, «мы» — это ещё и академическая традиция. Оно помогает автору не повторять на каждой странице «я считаю». Знание не принадлежит ему так же, как может принадлежать воспоминание или впечатление.

⠀
История про усатого соавтора ❤️
⠀
В 1975 году физик Джек Хезерингтон подготовил статью, в которой постоянно писал «мы». Но автор у работы был только один. Чтобы не перепечатывать весь текст, он добавил соавтора — своего сиамского кота Честера.

В статье кот появился под солидным именем Ф. Д. Ч. Уиллард. Работа была опубликована, а Уиллард вошёл в историю науки как соавтор исследования по физике низких температур.

Кстати, друзья, как лучше к вам обращаться?

🤓— на «вы»
🕊— на «мы»
😇— на «ты»

#это_база

Ну что, не заблудились среди тропинок?
А мы уже и ответ принесли!

Оказывается, невозможно провести от каждого домика по одной тропинке к погребу, колодцу и навесу так, чтобы ни одна из этих девяти тропинок не пересекалась с другой.

Ход решения 🔍

Обозначим три домика за A, B и C, а погреб, колодец и навес как P, K и N, соответственно (как на второй карточке). Пусть дома A и B соединены с каждым из трёх объектов непересекающимися тропинками. Заметим, что в этом случае тропинки разобьют плоскость на несколько областей, а если быть более точным – на 3!

Например, тропинки AP и AK вместе с тропинками BP и BK образуют замкнутый контур ограниченной области. Аналогично, AK и AN вместе с BK и BN образуют замкнутый контур другой ограниченной области. Третья и неограниченная область — это всё, что остаётся.

Таким образом, дом C обязательно окажется в одной из этих областей, каким бы образом мы ни соединяли тропинки.

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
Пример ⬇️

Рассмотрим ситуацию, когда он оказался в первой области APKB. Навес N лежит вне этой области, а значит тропинка CN будет обязана пересечь контур области, т.е. одну из уже проложенных тропинок.

Точно так же в случаях если C попала в какую-то другую область — всегда найдётся один из объектов (P, K или N), который не будет лежать внутри этой области, а значит соответствующая тропинка пересечет её контур.

Несмотря на кажущуюся простоту задачи и достаточно быстро напрашивающийся ответ, строгое доказательство не назовешь очевидным, так как его аргументированное обоснование несёт уже вполне топологический характер.

Задачу можно также решить, переведя её на язык графов:

Если каждый из объектов представить в виде точек, то есть вершин графа, а тропинки – рёбер графа, то по сути задача спрашивает, может ли каждая из трёх вершин одной группы быть соединена со всеми тремя вершинами другой группы без пересечений.

Известно, что для любого плоского (то есть лежащего на плоскости) двудольного графа (то есть графа, который можно нарисовать без пересечений) выполняется неравенство

E ≤ 2V−4

где V — число вершин, E — число рёбер графа. У нас V=6, E=9. Тогда для нашего графа должно быть E ≤ 2⋅6−4 = 8, но 9 > 8. Получили противоречие.

Кстати, такой граф, как наш, обозначают как K₃,₃​. Обозначение Kₙ​ означает полный граф на n вершинах: каждая вершина соединена с каждой. Мы только что доказали, что двудольный граф K₃,₃​ не может быть плоским. Это один из двух знаменитых минимальных неплоских графов, второй — граф K₅. Именно эти два графа появляются в знаменитой теореме Понтрягина-Куратовского:

🔄Граф можно нарисовать на плоскости без пересечений тогда и только тогда, когда он не содержит «спрятанного» K₅​ или K₃,₃​🔄

Как вам решение? Было сложно или элементарно?

⚡️ — я справился в два счёта
🗿 — вот бы побегать по этим тропинкам, а не задачи решать...

#задача

Принесли вам новую старую задачку из тех времён, когда в нашем быту повсеместно существовали такие явления, как на картинке 🤯

🔸Условие: на рисунке изображены три домика, погреб, колодец и навес.

🔸Задача: проведите от каждого домика по одной тропинке к погребу, колодцу и навесу так, чтобы ни одна из этих девяти тропинок не пересекалась с другой, или докажите, что это невозможно.

Как и всегда, ответы принимаются в комментариях! Мягко напоминаем скрывать их под спойлеры, чтобы другие участники случайно не увидели.

#задача