И одна из таких фигур — олоид 🤯
Представьте себе две одинаковые окружности радиуса r, расположенные в перпендикулярных плоскостях так, что центр каждой лежит на окружности другой. Иными словами, каждая из окружностей центрирована на «ребре» другой.
Если взять выпуклую оболочку этих двух окружностей, получится поверхность — это и есть олоид. Именно так в 1929 году её описал Пауль Шатц — швейцарский инженер и скульптор, математик и изобретатель, геометр и исследователь.
С тех пор олоиды стали настолько популярны, что, кажется, изготавливались уже из всего, чего только возможно: от алебастра до LEGO, а вдохновлялись ими представители самых различных профессий — от дизайнеров городской среды до специалистов по тимбилдингу. Но чем же они так примечательны?
С математической точки зрения олоид (или, как его ещё называют, ортобицикл) интересен сразу по многим причинам ⬇️
Во-первых, поверхность олоида образована движением прямых — такие поверхности называются линейчатыми. Более того, олоид является развёртывающейся поверхностью.
Это значит, что такую поверхность можно развернуть на плоскости без растяжений и разрывов; иначе говоря, можно сделать из бумаги трафарет, лежащий на плоскости, который затем можно сложить в исходную фигуру в пространстве.
К той же категории поверхностей относятся цилиндр или конус, но у олоида при этом нет осевой симметрии и простого уравнения. Зато имеется так называемое ребро возврата — особая кривая, вокруг которой поверхность изгибается. Как следствие, олоид можно описать как огибающую семейства отрезков, соединяющих точки двух окружностей.
Примечательно и то, что площадь поверхности олоида с радиусом исходных кругов, равным r, равна 4πr², то есть равна площади поверхности обыкновенной сферы того же радиуса.
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
Самое известное свойство олоида — кинематическое: положив его на плоскость, его можно катить ⬇️
При лёгком толчке расположенный на плоскости олоид будет покачиваться взад-вперёд, а при более сильном — довольно легко катиться. Можно сказать, что, несмотря на «кривую» форму, олоид катится по прямой линии — в том смысле, что общее направление его движения прямолинейно.
Но это совершенно иной тип движения — своего рода волнообразное «виляние» плавным, ритмичным образом с одновременными боковыми колебаниями.
В ходе качения каждая точка олоида рано или поздно касается опорной поверхности, по которой он катится. Для сравнения: у шара или цилиндра есть выделенная зона контакта. У олоида её нет — он «прокатывает» по поверхности всего себя целиком.
Как вы помните, мы упомянули, что олоид — развёртывающаяся поверхность, и это также можно наглядно наблюдать: в процессе одного полного цикла качения он развернёт на плоскость всю свою поверхность.
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
Наглядную демонстрацию особенностей движения олоида можно увидеть в GeoGebra и Wolfram, а также в этом видео. Если же хотите ознакомиться с олоидом более наукоёмко, рекомендуем эту статью.
🤯 — стойте, но вы же не рассказали про реальное применение!
#как_устроено