Зачем мне эта математика

Вдогонку к 8 Марта хотели рассказать вам о Софье Ковалевской

Это едва ли не самая известная женщина-математик не только в России, но и в мире.

Интерес к математике у неё пробудился в самом детстве. В 1858 году её отец вышел в отставку, и вся семья переехала в поместье в Витебской губернии. При переезде на одну из детских комнат не хватило обоев, и стену оклеили листами печатных лекций по математике.

Вот что об этом пишет сама Ковалевская в своих «Воспоминаниях о детстве»:

Выписывать обои приходилось из Петербурга, это было целой историей, и для одной комнаты выписывать решительно не стоило. По счастливой случайности, на её оклейку пошли именно листы литографированных лекций Михаила Остроградского о дифференциальном и интегральном исчислении, приобретённые моим отцом в его молодости.

Листы эти, испещрённые странными, непонятными формулами, скоро обратили на себя моё внимание. Я помню, как в детстве проводила целые часы перед этой таинственной стеной, пытаясь разобрать хотя бы отдельные фразы и найти тот порядок, в котором листы должны были следовать друг за другом.

От долгого ежедневного созерцания внешний вид многих формул так и врезался в моей памяти, да и сам текст оставил по себе глубокий след в мозгу, хотя в самый момент прочтения он и остался для меня непонятным.

Когда много лет спустя, уже пятнадцатилетней девочкой, я брала первый урок дифференциального исчисления у известного преподавателя математики в Петербурге, Александра Страннолюбского, он удивился, как скоро я охватила и усвоила понятия о пределе и о производной — «точно я наперёд их знала».

Я помню, он именно так и выразился. И дело действительно было в том, что в ту минуту, когда он объяснял мне эти понятия, мне вдруг живо припомнилось, что всё это стояло на памятных мне листах Остроградского, и само понятие о пределе показалось мне давно знакомым.

Чтобы продолжить образование, Ковалевской пришлось заключить фиктивный брак — только так русская женщина могла получить заграничный паспорт и уехать учиться. Надо сказать, что вскоре брак стал реальным — у пары родилась дочь.

Ковалевская слушала лекции в Гейдельберге, затем занималась у Карла Вейерштрасса в Берлине. Тот поначалу хотел отказать «назойливой просительнице», но, дав ей для отговорки сложнейшие задачи, через неделю получил безупречные решения. Докторскую степень она получила в Гёттингене заочно — университет не мог официально допустить женщину к защите.

Уже в 1884 году Софья Ковалевская прочла свою первую университетскую лекцию в Стокгольме. Это была первая регулярная лекция, прочитанная женщиной в исследовательском учреждении в истории современной науки. Вот что об этом написал знаменитый шведский писатель Август Стриндберг в местной газете:

⏩️Женский профессор — это пагубное и неприятное явление, даже, можно сказать, монструозное⏪️

Ковалевская впоследствии прочитала в Стокгольме ещё сотни лекций. Несмотря на все сложности, она стала членом Петербургской академии наук, лауреатом премии Бордена и одним из знаковых математиков своего времени.

Хорошо, что сегодня математику можно изучать всем. Ставим Ковалевской 🏆 за вклад в эмансипацию женщин в науке.

#история

Ещё одна находка про оригами!

Как говорил сам Лэнг, он не стремился стать «великим оригамистом» — мастерство стало естественным следствием любви к самому процессу.

Мы, кстати, знаем ещё кое-кого, кто идёт тем же путём: занимается инженерным оригами всерьёз и передаёт эту любовь детям ❤️

Узнали мы об этом от нашего давнего коллеги — автора канала «Кроссворд Тьюринга». В одном из постов он рассказал, как вместе с командой математиков летней школы «Лес» они провели мастер-класс по инженерному оригами.

🔄Здесь вы найдёте модели, которые собирали участники: солнечные панели и знаменитый сапог Шварца. Файлы для печати и с примеры применения инженерного оригами лежат в комментариях к посту🔄

Читайте и подписывайтесь на наших коллег — вероятно, скоро их имена будут красоваться в поисковике рядом с Робертом Лэнгом.

#рекомендуем

8 марта — прекрасный повод вспомнить имена женщин-математиков, которые появлялись в нашем канале ❤️

Интересно, что почти каждый раз за таким именем скрывается по-настоящему большое открытие:

🔸Совсем недавно мы рассказывали о Маргарите Пьяцолле Белок, которая показала, что сгиб бумаги может решить кубическое уравнение. Её «складка Белок» расширила границы классической геометрии.

🔸Невозможно не вспомнить Аду Лавлейс. В XIX веке, когда компьютеров ещё не существовало, она описала алгоритм для аналитической машины. По сути — первую программу в истории.

Но самое крутое — наблюдать, как новые звёзды появляются у нас на глазах:

🔸Например, Ханна Каиро, которая в 17 лет опровергла гипотезу Мизохаты-Такеучи — проблему из гармонического анализа, над которой математики размышляли десятилетиями.

🔸Или школьницы Кальсию Джонсон и Неки’Я Джексон, предложившие новый способ доказательства теоремы Пифагора и представившие его на конференции Американского математического общества.

У нас в запасе не мало таких историй. Будем стараться рассказывать их чаще.

А пока — поздравляем наших прекрасных читательниц с Международным женским днём. Пусть в жизни будет место любопытству, открытиям и задачам, от которых по-настоящему загораются глаза!

Делитесь подборкой с близкими и ставьте ❤️, если заценили нашли в посте лемнискату Бернулли.

В предыдущих постах мы вскользь упомянули Роберта Лэнга. В контексте современного оригами это художник, доведший искусство складывания бумаги до почти невозможной сложности.

Но Лэнг интересен не просто как мастер: он превратил оригами в математическую дисциплину.

По образованию Лэнг — физик. На сегодняшний день он является автором и соавтором более 80 публикаций по лазерам, оптике и оптоэлектронике, а также обладателем 46 патентов в этих областях.

Оригами долго оставалось его вечерним хобби, пока у него не созрела идея книги-руководства по самостоятельному проектированию моделей. Тогда он взял паузу в инженерной карьере и вскоре превратил своё увлечение в полноценную работу.

Именно физическая интуиция позволила ему увидеть в оригами не набор приёмов, а пространство задач. Он начал проектировать модели так же, как инженер обычно проектирует механизм: начиная не со сгибов, а с требований к структуре.

🔄Подробнее эти требования мы разобрали в карточках 2 и 3🔄

Кроме того, в математической теории оригами Лэнг доказал полноту правил Фудзиты, предложил одно из частичных решений задачи о мятом рубле и разработал формализованные подходы — «теорему складки» и «алгоритм кругового построения».

Названия его книг говорят сами за себя. Посудите сами:

▶️«Повороты, мозаики и тесселяции: математические методы для геометрического оригами»
▶️«Секреты дизайна оригами: математические методы в древнем искусстве»

Лэнговская математизация оригами оказалась важна далеко за пределами художественного творчества...

🔸Лэнг сотрудничал с инженерами Ливерморской национальной лаборатории, разрабатывавшими мощный космический телескоп со стометровой линзой-мембраной (см. карточку 4).

Его задачей было разработать способ упаковки гигантской линзы, известной как Eyeglass, в габариты ракетного обтекателя так, чтобы при развёртывании на ней не оставалось складок. Его методы были также использованы при создании первичного зеркала телескопа «Джеймс Уэбб».

🔸Лэнг разрабатывал схемы складывания подушек безопасности для автопроизводителей.

🔸Сегодня его алгоритмы применяются при проектировании сворачиваемых солнечных панелей и медицинских устройств, которые вводятся в тело в сложенном виде.

Лэнг регулярно выступает с лекциями о пересечении искусства и математики, а также консультирует инженеров и дизайнеров по применению оригами-структур.

Его работы демонстрировались в Музее современного искусства в Нью-Йорке, в Carrousel du Louvre в Париже и в научных центрах мира. На выставках он показывает не только готовые модели, но и развёрнутые схемы складок как самостоятельные художественные объекты.

Как вам история? Удалось увидеть в оригами немного больше математики? Если да — тык на 🏆.

#как_устроено

Посмотрим на оригами глазами математика 👀

Человечество не сразу пришло к этому ракурсу, но всё же разглядело за декоративной техникой геометрическую теорию.

Со времён Евклида геометрия понималась как мастерство построений циркулем и линейкой. Модель оказалась настолько фундаментальной, что не менялась более двух тысяч лет.

И лишь к XX веку обнаружилось, что если циркуль заменить произвольно сгибаемым листом бумаги, то класс допустимых построений существенно расширится.

Не будем пытаться урезать историю. Открывайте цитаты и читайте:

⠀
📐 Геометрия в сгибе
⠀⠀
Подобно построениям циркулем и линейкой, любое построение оригами можно описать как последовательность элементарных сгибов, или аксиом Фудзиты-Жюстина.

Эти базовые операции классифицируются путём перечисления всех возможных способов построить одну прямую линию сгиба, совмещая заданные точки и прямые с уже имеющимися на листе точками и прямыми.

Мы привели парочку аксиом для лучшего представления (см. карточку 1).

Практически все аксиомы оригами эквивалентны классическим евклидовым построениям циркулем и линейкой. Все, кроме одной — шестой.⠀

⠀
🧩 Складка Белок
⠀
Это аксиома, которая выводит нас за пределы античной геометрии. Она названа в честь Маргериты Пьяцоллы Белок, которая в 1936 году первой осознала её силу.

Геометрически такой сгиб эквивалентен задаче о проведении прямой, одновременно касательной к двум параболам, и может рассматриваться как эквивалент решения уравнения третьей степени, поскольку в общем случае существует три решения. Эти параболы имеют фокусы в точках P₁ и P₂ соответственно, а их директрисы задаются прямыми l₁ и l₂ (см. карточку 2).

Циркуль и линейка позволяют получать только те числа, которые выражаются через конечное число операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратных корней. Поэтому античные задачи на удвоение куба и трисекцию произвольного угла оказались неразрешимыми в классической модели: они требуют извлечения кубического корня.

Оригами снимает это ограничение. С помощью складки Белок можно построить отрезок длиной, равной кубическому корню из 2, трисектировать угол и в целом решать общие кубические уравнения.⠀

⠀
📚 Немного истории...
⠀
Задачи по геометрии складывания бумаги встречаются в древних японских сангаку, что свидетельствует о существовании не только художественной, но и математической традиции оригами.

Первым известным трактатом, посвящённым геометрическим построениям с помощью бумаги, считается книга Сундара Роу (1893 год). Она издавалась даже в дореволюционной России под названием «Геометрическiя упражненiя съ кускомъ бумаги».

Роу понимал складывание бумаги весьма широко, применяя сгибы, которые совмещают точки и прямые с ранее построенными точками и прямыми. Он не использовал ничего подобного сгибу Белок.

В 1930 году Джованни Вакка описал известные на тот момент связи оригами и геометрии. Он подытоживает, каким образом оригами позволяет решать квадратные уравнения, но не упоминает кубические.

Это и подготовило почву для Белок. После публикации статьи она также быстро заметила, что оригами позволяет находить действительные корни и для уравнений четвёртой степени.

Уже в XXI веке Роберт Лэнг показал, что складка Белок является наиболее сложной возможной операцией в классическом складывании бумаги.

Но возможны также и криволинейные сгибы. Они полностью разрушают «игру построений», поскольку позволяют строить трансцендентные числа, такие как π.

Кроме того, Роберт Лэнг показал, что если разрешить одновременное выполнение нескольких сгибов, то можно выполнить произвольную пятисекцию угла, а при разрешении трёх одновременных сгибов можно решать произвольные уравнения пятой степени.

⠀
Сегодня математике оригами посвящены:

▶️ отдельная категория на Википедии
▶️ общеобразовательный мультфильм на TED-Ed
▶️ специализированные курсы от MIT
▶️ пиксельные ролики с анализом серьёзных теорем

Знали ли вы, что складывание фигурок из бумаги имеет такую ценность для математики?

🔥 — не знал, но умею складывать самолётик
👀 — расскажите лучше, чем оригами полезно на практике

#история

Вынуждены признать: давать вам такую задачу было не совсем честно с нашей стороны… Она действительно сложная, пусть мы и намекнули на это в прошлом посте.

🔍 Задача имеет давнюю и интересную историю. Известна она под названием «Задача о мятом рубле» (рубль раньше был бумажным).

Судя по источникам, впервые её сформулировал математик Владимир Арнольд, когда ему было 19 лет. Он придумал сотни задач, многие из которых до сих пор не решены, а чтобы решить некоторые, пришлось развить новые области математики.

Все они собирались в сборники — и эта не стала исключением. Наша задача открывает эту книгу, занимая почётное первое место.

*️⃣Решение будет сопровождаться картинками, поэтому весь текст мы в качестве исключения вынесли в карточки. Читайте и пишите в комментариях, как вы поняли слово «сложить» и какого решения вам удалось достичь.

Если вы хотите увидеть больше иллюстраций и анимированные визуализации построения решения, рекомендуем материал проекта «Математические этюды», который мы уже неоднократно советовали.

Если же вы хотите по-настоящему разобраться в деталях решения со всеми выкладками, рекомендуем обзорную статью Антона Петрунина, лёгшую в основу нашего материала.

#задача

Мы уже давали вам задачи, связанные с листами бумаги (тут и тут, например) и сегодня будет ещё одна.

Правда, сразу признаем — в одну лигу их не определишь. И это при том, что формулировка на этот раз совсем краткая…

Вопрос: можно ли сложить квадратный лист бумаги на плоскости так, что периметр полученной фигуры превысит периметр исходного листа?

Подсказка: решение принципиально зависит от того, как понимать условие.

Вперёд, знатоки! Ждём ваши ответы в комментариях.

Заглядывая наперёд, скажем, что задача откроет нам портал в очень интересную тему, так что не отключайтесь ❤️

#задача

Весенний #меммат

Как ощущается изучение областей математики, которые не имеют прикладных сторон от слова совсем:

Задача с запахом Tom Ford, смесь ванили и таба…

Шутка! На самом деле задача про очень аккуратный счёт и скрупулёзный перевод значений в метрических системах. Решаем:

1️⃣Рассчитаем, сколько в комнате находится капелек духов. Для этого выразим объём комнаты в мм³:

5 * 4 * 4 = 80 м³ = 80 * 10⁹ мм³

2️⃣Узнаем, чему равен объём каждой капельки:

0,5 мл = 0,5 * 10⁻⁶ м³ = 0,5 * 10³ мм³ = 500 мм³

(0,5 * 10⁻⁶) / (80 * 10⁹) = 6,25 * 10⁻⁹ мм³

3️⃣Теперь из формулы объёма сферы выразим радиус и найдём его:

V = 4/3 * πR3
R = (3V / (4π))¹ᐟ³

R = (3 * 6,25 * 10-9 / π / 4) = 0,00114 мм = 1,14 мкм.

Эта цифра, кстати, меньше толщины человеческого волоса примерно в 50-70 раз. Но это уже совсем другая история...

Задачу составила для нашего канала методист Яндекс Лицея Нелли. Накидайте ей сердечек, если получили правильный ответ ❤️

#задача

Прошлая задача набрала какое-то нереальное количество ответов. С мокрыми ладошками следили за комментариями и боялись вклиниться. Благодарим за активность и несём новую задачу:

🔸Условие: в комнате размерами 5×4×4 м разбрызгали 0,5 мл духов так, что в среднем в каждом кубическом миллиметре воздуха оказалась одна малюсенькая капелька духов.

🔸Вопрос: каков радиус этой малюсенькой капельки?

*️⃣Считайте, что все капельки одинаковы и имеют сферическую форму.

Ответы оставляйте под спойлером в комментариях. Скоро опубликуем решение.

#задача

У нас для вас необычная находка!

🔍 Онлайн-архив с эмуляторами культовых моделей калькуляторов

Если вдруг вам хотелось понажимать кнопки, то можно это сделать прямо в браузере.

Коллекцию собрали ребята из Internet Archive, к которым мы часто обращаемся, когда пишем про ценные и старые издания математической литературы.

В списке вы найдёте инженерные и графические модели, школьную классику, а также игрушечный калькулятор со слоником из 80-х.

Сохраняйте и делитесь с друзьями. А если любите коллекционировать такие винтажные штучки, делитесь своими находками в комментариях 💬

#рекомендуем