Человечество не сразу пришло к этому ракурсу, но всё же разглядело за декоративной техникой геометрическую теорию.
Со времён Евклида геометрия понималась как мастерство построений циркулем и линейкой. Модель оказалась настолько фундаментальной, что не менялась более двух тысяч лет.
И лишь к XX веку обнаружилось, что если циркуль заменить произвольно сгибаемым листом бумаги, то класс допустимых построений существенно расширится.
Не будем пытаться урезать историю. Открывайте цитаты и читайте:
⠀
📐 Геометрия в сгибе
⠀⠀
Подобно построениям циркулем и линейкой, любое построение оригами можно описать как последовательность элементарных сгибов, или аксиом Фудзиты-Жюстина.
Эти базовые операции классифицируются путём перечисления всех возможных способов построить одну прямую линию сгиба, совмещая заданные точки и прямые с уже имеющимися на листе точками и прямыми.
Мы привели парочку аксиом для лучшего представления (см. карточку 1).
Практически все аксиомы оригами эквивалентны классическим евклидовым построениям циркулем и линейкой. Все, кроме одной — шестой.⠀
⠀
🧩 Складка Белок
⠀
Это аксиома, которая выводит нас за пределы античной геометрии. Она названа в честь Маргериты Пьяцоллы Белок, которая в 1936 году первой осознала её силу.
Геометрически такой сгиб эквивалентен задаче о проведении прямой, одновременно касательной к двум параболам, и может рассматриваться как эквивалент решения уравнения третьей степени, поскольку в общем случае существует три решения. Эти параболы имеют фокусы в точках P₁ и P₂ соответственно, а их директрисы задаются прямыми l₁ и l₂ (см. карточку 2).
Циркуль и линейка позволяют получать только те числа, которые выражаются через конечное число операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратных корней. Поэтому античные задачи на удвоение куба и трисекцию произвольного угла оказались неразрешимыми в классической модели: они требуют извлечения кубического корня.
Оригами снимает это ограничение. С помощью складки Белок можно построить отрезок длиной, равной кубическому корню из 2, трисектировать угол и в целом решать общие кубические уравнения.⠀
⠀
📚 Немного истории...
⠀
Задачи по геометрии складывания бумаги встречаются в древних японских сангаку, что свидетельствует о существовании не только художественной, но и математической традиции оригами.
Первым известным трактатом, посвящённым геометрическим построениям с помощью бумаги, считается книга Сундара Роу (1893 год). Она издавалась даже в дореволюционной России под названием «Геометрическiя упражненiя съ кускомъ бумаги».
Роу понимал складывание бумаги весьма широко, применяя сгибы, которые совмещают точки и прямые с ранее построенными точками и прямыми. Он не использовал ничего подобного сгибу Белок.
В 1930 году Джованни Вакка описал известные на тот момент связи оригами и геометрии. Он подытоживает, каким образом оригами позволяет решать квадратные уравнения, но не упоминает кубические.
Это и подготовило почву для Белок. После публикации статьи она также быстро заметила, что оригами позволяет находить действительные корни и для уравнений четвёртой степени.
Уже в XXI веке Роберт Лэнг показал, что складка Белок является наиболее сложной возможной операцией в классическом складывании бумаги.
Но возможны также и криволинейные сгибы. Они полностью разрушают «игру построений», поскольку позволяют строить трансцендентные числа, такие как π.
Кроме того, Роберт Лэнг показал, что если разрешить одновременное выполнение нескольких сгибов, то можно выполнить произвольную пятисекцию угла, а при разрешении трёх одновременных сгибов можно решать произвольные уравнения пятой степени.
⠀
Сегодня математике оригами посвящены:
▶️ отдельная категория на Википедии
▶️ общеобразовательный мультфильм на TED-Ed
▶️ специализированные курсы от MIT
▶️ пиксельные ролики с анализом серьёзных теорем
Знали ли вы, что складывание фигурок из бумаги имеет такую ценность для математики?
🔥 — не знал, но умею складывать самолётик
👀 — расскажите лучше, чем оригами полезно на практике
#история