Ликбез по доходности - проценты годовых

Что такое доходность?

❓ Что тяжелее - 1 пуд золота или 36 фунтов серебра?

Нормальный человек вряд ли сходу ответит на данный вопрос.
Нужно погуглить: 1 пуд - это 16,38 кг, а 1 фунт - это 0,453 кг. 36 фунтов - это 16,33 кг. Вес практически равный.
Чтобы это выяснить, нам пришлось ввести новую эталонную единицу - килограмм, и выразить через нее пуды и фунты.

Не знаю, обратили ли вы внимание, что в универсальных формулах доходности нет сроков. Доходность считается как итоговый результат за весь период.

Интуитивно понятно, что 100% за год выгоднее, чем 100% за три года.
А если все не так очевидно? Что лучше 12% за год или 35% за три года?

Нужен аналог килограмма, и в финансах его роль выполняет показатель "процент годовых". Из названия уже понятно, что это доходность за 1 год.

Проценты годовых - это попытка привести доходности разных периодов к общему показателю, который можно сравнивать между собой.

Допустим, я предлагаю вам поучаствовать в инвестиционном проекте: вкладываете 400 тысяч сейчас, через два года получаете 500 тысяч.

Если инвестор зарабатывает 100 тысяч за два года, логично предположить, что за год будет заработано в два раза меньше.
Воспользуемся формулой доходности 1️⃣ и разделим доход инвестора пополам.
Нумерация формул - сквозная для всех постов о доходности, т.к. не раз придется на них ссылаться.

    (Кк - Кн) / 2
R = ———————————————
          Кн

Двойку можно вынести в знаменатель, а потом вообще вне дроби.

(Кк - Кн)
5️⃣ R = ————————— / 2
Кн

Выражение до /2 - это изначальная формула доходности 1️⃣.
Получается, что можно делить пополам полученный доход, а можно посчитать доходность и уже ее разделить на два.
Вы, конечно же, встречали много раз эту формулу под названием "простой процент".

Посмотрим, что мы с вами посчитали. Выразим конечный капитал:

6️⃣ Кк = Кн + Кн*2R = Кн + Кн*R + Кн*R

К начальному капиталу ежегодно добавляется фиксированная сумма денег равная начальному капиталу, умноженному на процент доходности. Ничего не напоминает? Так работает банковский депозит.

А давайте эти периодические выплаты реинвестируем.

Выплата первого года Кн*R принесет во второй год дополнительный доход в размере (Кн*R)*R = Кн * R^2

Прибавим этот допдоход к конечному капиталу из формулы 6️⃣:

7️⃣ Кк = Кн + Кн*R + Кн*R + Кн * R^2

Кн можно вынести за скобки:

Кк = Кн * (1 + R + R + R^2)

В скобках видим школьное выражение для квадрата суммы:
(1 + 2R + R^2) = (1+R)^2
Подставим в формулу:

Кк = Кн * (1+R)^2

Перенесем капиталы вправо, а доходности влево:

Кк
8️⃣ (1+R)^2 = ————
Кн

Тоже выглядит знакомо - так считается сложный процент. Мы наглядно убедились, что сложный процент показывает результат с реинвестированием.

Для удобства я взял срок 2 года, но логика расчетов ровно такая же для любых сроков от 1 до N лет.

Продолжение👇🏼