Карта математики | Maximatika

👋 Всех приветствую.

Возможно Вы знакомы с этим каналом - Hmath, но не знаете о ситуации, которая сложилась вокруг Алексея - автора.

Прикрепляю его пост:

"Уже 7 лет назад я выложил первый ролик на канале. С тех пор сделано 256 видео, которые посмотрели почти 4,5млн. раз, и на канал подписалось более 36тыс. человек.

Этот год был очень тяжёлым для меня: длительная изнуряющая болезнь приковала меня к постели. Уже более года я не выходил из дома и, конечно же, не мог работать, жил на сбережения и копил долги. Несмотря на это, при помощи моей любимой жены получилось сделать такое же количество видео, как и за год до этого.

Удивительно, но все задачи для видео мне удалось придумать и решить полностью в уме, никогда бы не подумал раньше, что смогу так сделать :) Работа над каналом остаётся единственным, что я могу делать, что отвлекает меня от болезни и, благодаря вашей поддержке, приносит маленький доход.

Сейчас канал поддерживает 36 человек ежемесячными платежами через бусти, а разовые донаты за полгода прислали 5-7 человек. К сожалению, количество людей, которые финансово помогают выходу новых видео, уменьшилось. Представьте, если каждый из подписчиков один раз за 7 лет отправил бы 200-300руб., это бы на годы решило мои финансовые проблемы."

Поддержите словом или делом (повторю ссылку поста). Для него сейчас это важно! Спасибо!

Ну что ж, судя по опросу, нужно постараться писать и больше, и чаще😀

Но в свою очередь хочу вас попросить не забывать реагировать на посты. Мне будет очень приятно! Да и положительное подкрепление никто не отменял 😀

Третья серия!🎉

https://www.youtube.com/watch?v=mxt36WzKZ2E

🎥В прошлых видео мы уже сделали краткий экскурс в аксиоматику Цермело-Френкеля (ZF) и даже посмотрели на некоторые её расширения — с аксиомой выбора (AC) и аксиомой детерминированности (AD).

И теперь у нас есть достаточно прочный фундамент, чтобы поговорить о теории множеств подробнее, и как об инструменте и как о самостоятельной дисциплине.

Сегодняшний выпуск о способах задания множеств, подмножествах, а также о проблемах математического моделирования и научно-популярных аналогий.


📌 В выпуске:

✅ Well-difined
💭 Аналогии и описания
🏗 Конструкторы
📦 Подмножества:
• 🍩 В топологии
• 🎲 В теории вероятности
• ♟ В комбинаторике
• 💻 В информатике

Вы не просили, но мне втемяшилась эта идея, и я не смог себе отказать! Да и навыки монтажа надо потихоньку совершенствовать.

Всё-таки канал называется — карта математики и как бы подразумевает в конце концов эту карту построить (моими темпами я правда не знаю, когда это случится, но всë же 😀).

Пока буду анимировать еë по частям в виде заставки к каждому видео (чтобы предварительно осветить — какие связи там появляются), а в дальнейшем надо бы сделать полноценную интерактивную.

🌌МОНИЗМ И ПЛЮРАЛИЗМ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Часть 2. Фильтры. Продолжение.

Итак, мы остановились на том, что хотим сохранить преимущества сетей, оставаясь в рамках языка теории множеств.

И как раз здесь на первый план выходят ФИЛЬТРЫ.


🧺 ВТОРОЙ ОТВЕТ: ФИЛЬТРЫ


Давайте задумаемся, что на самом деле мы имеем в виду, когда говорим: последовательность, “начиная с некоторого номера” попадает в некоторую область?

По сути это означает, что из множества натуральных чисел (множества индексов) выбирается подмножество из элементов n > N — хвост {N+1, N+2,...} (вспоминаем формулировку предела, сходимости и т.д.).

Множества, содержащие в качестве подмножества такой хвост, считаются значимыми, а не содержащие — нет.

А ведь это и есть фильтр — система подмножеств, отобранная по некоторому правилу.

Конкретно здесь кофинитный фильтр, который считает значимым всякое множество, у которого дополнение конечно.


🧭 ТОПОЛОГИЯ УЖЕ НОСИЛА ФИЛЬТРЫ В КАРМАНЕ


Думаю, вы сразу догадались, что идея фильтров идеально вписалась в топологию.

Вернее даже сказать, что топология уже имела внутри себя фильтры в качестве системы окрестностей точки:

любого множества, внутри которого есть открытое множество, содержащее эту точку.

Посмотрите сами:


1️⃣🚫Пустое множество

🟦 Пустое множество не может быть окрестностью x, потому что не содержит x;

🟢 Фильтр не содержит пустого множества.


2️⃣🔁Пересечение

🟦 Пересечение двух окрестностей x тоже является окрестностью x;

🟢 Пересечение двух элементов фильтра тоже элемент фильтра.


3️⃣📦Включение

🟦 Если A — окрестность x, то любое множество B содержащее А (A⊆ B) — тоже окрестность;

🟢 Если A — элемент фильтра, то любое множество B содержащее А — тоже элемент фильтра.

Идеальный match.


Таким образом, в фильтрах соединилось всё, что нам было нужно:

1️⃣ с помощью них можно выделить систему областей, через которые должно проходить приближение;

2️⃣ фильтры оказались внутренним языком топологии.

Всё, кроме…


⚖️ ФИЛЬТР НЕ ВСЕГДА РЕШАЕТ


...Решительности!

Обычный фильтр не обязан работать для каждого подмножества.

Например, встреченный нами кофинитный фильтр отлично понимает, что множество N∖{1}: значимое, потому что его дополнение — {1} конечное.

❓Но что делать с множеством чётных чисел {2, 4, 6,...};

❓Или нечётных {1, 3, 5,...}

Оба множества бесконечны. И дополнение у обоих бесконечно.

Кофинитный фильтр не может их различить по значимости, он не считает значимым ни одно ни другое.

🤷‍♂️ И вроде бы — да и бог с ним! Просто будем выбирать для каждого случая свой подходящий фильтр.

Но есть ситуации, когда удобнее, а то и жизненно необходимо, чтобы фильтр работал сразу для всех подмножеств без исключений.


🧱 КОМПАКТНОСТЬ: КОГДА УБЕЖАТЬ НЕВОЗМОЖНО...НИКОМУ...


Допустим, мы хотим представить бесконечное количество данных конечным набором, или расширить уже известное локальное свойство, выраженное через окрестности, до глобального.

Для этого нужно предотвратить все возможные (в том числе бесконечные) убегания точек. Формально говоря — показать компактность пространства.


1️⃣В метрических пространствах достаточно, чтобы:

из любой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Дополнительные пляски вокруг подпоследовательностей нужны, чтобы не лишать компактности подобных несходящихся ребят: 0,1,0,1,0,1,...

2️⃣В более общем топологическом пространстве заменяем последовательность на сеть:

из любой сети можно выбрать сходящуюся подсеть.

Но на языке фильтров, из-за их нерешительности мы теряем такую стройность определения. Становится невозможно говорить “любой” по отношению к сходимости и приходится вводить дополнительное понятие некой точки прикосновения.


💪 УЛЬТРАФИЛЬТРЫ


На деле, вместо обычных фильтров удобнее определить специальные — крутые и максимально решительные — УЛЬТРАФИЛЬТРЫ, обязующиеся для каждого множества решить: значимо либо оно, либо его дополнение.


3️⃣Они позволяют вернуться к более интуитивному определению компактности:

если каждый ультрафильтр на X сходится к какой-то точке из X.

🔜 Здесь-то и можно начать историю гипердействительных чисел…

🌌МОНИЗМ И ПЛЮРАЛИЗМ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Часть 2. Фильтры. Начало.

Сегодня поговорим о невсемогуществе привычного нам стандартного анализа. Как математика стала работать с пространствами, где привычных нам последовательностей становится недостаточно для описания простого житейского — “всё ближе и ближе”.


🧮 Последовательности: первая тропинка к пределу


Уверен, вы знакомы с самым базовыми примерами последовательностей:

1, ½, ⅓, ¼, …

И знаете (или по крайней мере чувствуете), что, например, такая стремится к нулю.

📌 Формально: потому что какую бы маленькую окрестность нуля мы ни взяли, начиная с некоторого элемента последовательность туда попадёт и уже не выйдет.

Перефразируя мёртвого классика:

- "После стольких N?"
- "Всегда!"

Такое представление пределов на основе последовательностей настолько для нас обыденно, что кажется вечным и всемогущим. Но это только на первый взгляд. Потому что мы привыкли мыслить внутри метрических пространств. И понятия "Близко" и "Расстояние" в нашей интуиции очень сильно связаны.

Но Жизнь и Математика не ограничиваются метрическими пространствами. Не везде мы можем оперировать расстояниями.


🕳 Когда последовательностей стало не хватать


За рамки метрических пространств выходит топология.

Если очень кратко, более общее — топологическое пространство состоит из множества точек (элементов пространства), на котором выбраны специальные подмножества, называемые открытыми.

📦 Причём, чтобы задать топологию, можно выбрать любые подмножества элементов, главное, чтобы всё их семейство соответствовало нескольким формальным правилам:

1️⃣ Открытым является само множество и пустое множество;

2️⃣ Любое объединение открытых подмножеств тоже даёт открытое подмножество;

3️⃣ Конечное пересечение открытых подмножеств тоже даёт открытое подмножество.

Т.е. в таком общем пространстве у нас есть только точки и некоторые маркированные наборы из этих точек.

Но что в этом случае значит — быть "ближе и ближе", сходиться (иметь предел) в точке?

Для этого нам нужно обобщить идею, которую использовали в привычном анализе.

🛤 Если там мы задавали некое магическое число эпсилон, ограничивающее расстояния; уменьшали его, смыкая челюсти окрестностей и приближаясь к точке.

🛤🚧 То в общем топологическом случае, нельзя так легко, шаг за шагом, проверить приближение. Мы не можем, как в метрических пространствах, гарантировать никакой строгой иерархии окрестностей, так удобно выстраивающейся в счётную лесенку последовательности.

Можем лишь говорить, что последовательность точек в конце концов должна попасть в каждое открытое подмножество, содержащее эту точку. И соответственно, использовать только более общее свойство частичного порядка вместо линейного.

"Без метрики никаких магистралей, только сад расходящихся тропок."

🕸Первый ответ: сети


Первым ответом стали сети Мура–Смита.

Логика довольно простая. Если счётная база нам не гарантируется и, соответственно обычная последовательность начинает барахлить (ведь она индексируется натуральными числами — как раз счётным множеством). Тогда мы возьмём в качестве индексов не натуральные числа, а произвольное направленное множество.

Таким образом, приближение сможет идти не по одной цепочке номеров, а по более разветвлённой системе условий.

❗️Но, несмотря на это заметное преимущество, у сетей сохранялся ещё один минус последовательностей: что одни, что другие являются внешней траекторией — чужеродными для топологии объектами. А всегда удобнее оставаться в рамках языка одной дисциплины. Т.е. в топологическом пространстве удобнее говорить на языке множеств и их открытых подмножеств.


🗑 Второй ответ: фильтры


И вот тут появляются фильтры...

Точнее они появятся в следующем посте 😉

🔜Скоро вернусь с продолжением!

🌌МОНИЗМ И ПЛЮРАЛИЗМ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Часть 1. Альтернативная история анализа

Как мы помним (если не помним, то теперь запомним), изначально теория множеств выросла из проблем анализа.

Но какой бы она была, если бы анализ пошёл другим путём?


🧮 От бесконечно малых до пределов


Сам анализ зародился в XVII веке и развивался усилиями Ньютона и Лейбница. Они активно пользовались понятиями бесконечно малых, не давая их строгого обоснования:

• что это за объекты?

• почему в одних случаях мы работаем с ними как с обычными числами?

• почему в других пренебрегаем ими, будто в нужный момент они волшебным образом превращаются в 0?

Но пока всё работало, какое-то время без формализации можно было обойтись.

Какое-то время...


👻 Призраки ушедших величин


К середине XIX века терпение лопнуло: "призраки ушедших величин" уже использовались повсеместно, и выстраивать дальнейшую строгую теорию на их основе без формализации стало невозможно.

В итоге, стараниями Коши, а затем Вейерштрасса, от них отказались и язык анализа постепенно перешёл к строгой ε-δ форме, которой мы пользуемся и по сей день.

И это как раз одна из развилок, на которой анализ, а за ним теория множеств, да и, возможно, вся математика могли пойти другим путём.


🔀 А если бы оставили бесконечно малые?


🤥 Но что, если бы идеи Коши и Вейерштрасса не восторжествовали. И позже нашёлся бы какой-нибудь Папа Карло, сделавший бесконечно малые "настоящими" мальчиками числами.

И на самом деле, уже в конце XIX века появились первые серьёзные наработки: неархимедово упорядоченное поле Леви-Чивиты.

Понятие архимедовости здесь ключевое. Оно говорит, что:

Какое бы маленькое x > 0 мы ни взяли, повторяя его достаточно много раз, мы всегда можем превысить 1:
n*x > 1 или 1/n < x.

Но о какой архимедовости может идти речь, если бесконечно малое, наоборот, по определению меньше любого 1/n, т.е. 1/n > ε?


⚠️ Просто иметь бесконечно малые... мало


Но конкуренцию предельному языку, который на тот момент уже вполне состоялся, такие наработки составить уже не смогли. Да и математика ещё не вполне созрела для работы с такими расширенными полями чисел.

💾 Во-первых, нужно было быть уверенным, что новая система чисел сохраняет самые важные алгебраические и порядковые свойства действительных чисел (+, *, < ...)

Но не просто как набор полезных совпадений, а как полноценный модельно-теоретический механизм.

🏛 Во-вторых, из-за своей неархимедовости они теряют замечательное свойство полных архимедовых упорядоченных полей (которое есть у действительных) — каноничность представлений.

И то, что разные их представления дают одну и ту же структуру с точностью до изоморфизма, придëтся доказывать отдельно.


🚀 Робинсон и нестандартный анализ


В нашей ветке истории математика созрела для решения этих задач только к середине XX века. Это воплотилось в нестандартном анализе Робинсона.

«Есть веские основания считать, что нестандартный анализ, в той или иной форме, станет анализом будущего», — Курт Гёдель, 1973

✋ К этому времени ... загибаем пальцы:


1️⃣ Общая топология перешла на язык множеств. Стало можно пользоваться идеями фильтров и ультрафильтров, дающими альтернативу языку последовательностей.

Кстати, ещё ультрафильтры используются для построения новых моделей теории множеств через ультрапроизведения и ультрастепени.

Так что они точно заслужили отдельный пост...

2️⃣ Появились расширения действительных чисел на основе ультрафильтров — гипердействительные числа.

Про них тоже отдельный пост...

3️⃣ Теорема Лося, которая объясняет, почему гипердействительные наследуют важные свойства действительных.

4️⃣ И самое для нас интересное — сформулирована ГИПОТЕЗА КОНТИНУУМА — которая позволяет говорить о каноничности гипердействительных (по крайней мере минимального размера).

И будьте уверены: если бы основным стал нестандартный анализ, гипотезу континуума, не раздумывая, включили бы в стандартный список аксиом теории множеств.

🤔 Но не подрывают ли такие альтернативы веру в то, что теория множеств едина? Или мы просто не видим за ветвями ствола единой первородной теории?..

🌌МОНИЗМ И ПЛЮРАЛИЗМ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Все мы знаем, что теория множеств претендует на роль одного из фундаментальных языков математики.

Но почему она имеет именно такую форму?
Почему содержит именно такие аксиомы?


🧭 Необходимость или контингентность оснований?


Что, если бы мы попали в альтернативную историческую ветку, где математический анализ (напомню - теория множеств исторически выросла во многом из проблем анализа). Так вот, что если математический анализ развивался бы не через привычные пределы, а через гипердействительные числа?

А ведь в этом случае на первый план могла выйти гипотеза континуума, как естественная аксиома, необходимая для анализа через гипердействительные.

И мы бы имели совсем другую стандартную теорию множеств.

📚 Мне кажется, в литературе острый недостаток математических попаданцев😀


🧠Какая математическая реальность настоящая?


Существует ли некоторая единая истинная вселенная множеств, а разные модели лишь еë частичные отражения? Или математических миров много?


🛠 Как создаются такие миры?


🔹 форсинг;
🔹 внутренние модели;
🔹 ультрапроизведения и ультрастепени через ультрафильтры.

Заодно чуть понятнее станет, что же сделали Гёдель и Коэн для доказательства независимости аксиомы выбора и гипотезы континуума.


🧩 Вернёмся к вопросу - открывается математика или изобретается?


Значит ли плюралистический подход, что теория множеств — просто человеческое изобретение?

Или можно оставаться платонистом и верить в математический мультиверс?

Об этом мы в ближайшее время и поговорим...

Мы с вами уже довольно долгое время вместе.

Думаю, пора сЫмитировать демократию и устроить допрос (гарантий, что это на что-то повлияет, как вы понимаете, дать не могу 😉).

По крайней мере, в ближайшее время уже наметил снова поговорить о современных идеях. В этот раз — в теории множеств: форсинге, монизме Хью Вудина и плюрализме Джоэла Хэмкинса.

Также чуть позже можно будет потихоньку подвязывать к текущим темам олимпиадную математику — например что-нибудь из экстремальной теории множеств: теорему Шпернера, цепи, антицепи и т. п.

Но об этом интересно рассказать мне, а что интересно послушать вам?

Вторая серия!🎉

https://www.youtube.com/watch?v=KdbhCAs5Ivg

🎥В прошлой серии мы в общих чертах описали самую часто используемую систему аксиом теории множеств — Цермело-Френкеля (ZF).

Сегодня самое время добавить к ZF буковку C. И поговорить об аксиоме выбора. Наверное самой противоречивой аксиоме после пятого постулата Евклида.

Так же затронем, не совместимую с ней аксиому детерминированности (AD) — мостик между теорией множеств и теорией игр.

📌 В выпуске:

🔢 Упорядоченность как выбор
⚠️ Критика выбора
🎭 Парадоксы выбора
⚖️ Независимость выбора
♟ Игры вместо выбора

Неожиданно подкравшийся ремонт сильно затянул создание ролика.

Но он вот-вот на подходе!

🕳 ФУНДИРОВАННОСТЬ

🏺Немного предыстории. Помните, мы уже боролись с парадоксами в одном из прошлых видео?

Так как долгое время считалось, что большинство так называемых "фундаментальных" семантических и теоретико-множественных парадоксов основаны на самореферентности — главным нашим оружием было составление иерархий. На этой идее основаны иерархия типов Рассела и иерархии языков Тарского.

Но в какой-то момент появились сомнения. Ведь если проблема не только в самореферентности, то решения не могут ограничиваться лишь исключением циклических конструкций.


❓Что с Ябло?


А парадокс Ябло как раз породил новый виток обсуждений этого вопроса.

С одной стороны, если рассматривать парадокс целиком как схему высказываний — он самореферентен.

Но если рассматривать самореферентность, как наличие ссылок между самими высказываниями — нет.


❌Почему в таком смысле Ябло не самореферентен?


Для описания ссылочной структуры обратимся за помощью к самому удобному и наглядному для этого инструменту — ориентированным графам (относительно парадоксов их часто называют dangerous reference graphs):

🔹 вершины — это высказывания;
🔹 рёбра — ссылки между ними;
🔹 cамореференция — наличие цикла в графе.

В таком виде различие становится особенно наглядным:

• стандартные самореферентные парадоксы по типу лжеца описываются циклической графовой структурой;

🔁 тот же "лжец" в этих представлениях — граф с одной вершиной и петлей;
🔁 а, например, парадокс открытки — граф с двумя вершинами, каждая из которых указывает на другую.

• парадокс Ябло — ациклический (в этом смысле он изоморфен обычному порядку «меньше» на натуральных числах, в ацикличности которого думаю ни у кого не возникает сомнений).


🕳 Если не самореференцией единой, то что их объединяет?

Почему парадокс Ябло обладает большинством свойств обычных парадоксов самореференции?

Ответ в том, что, их структура зависимостей НЕФУНДИРОВАНА. В ней отсутствует опора:

— будь то зависание в бесконечном цикле;
— будь то бесконечный спуск в парадоксе Ябло.

В математике нефундированность принимает самые разные формы:

🔹 в теории множеств — отсутствие опоры у отношения принадлежности (если смотрели видео про теорию множеств, то помните, что от этого нас спасает аксиома регулярности)
https://youtu.be/0EkY9nq0bGg?si=6K2HVMMZd1_Az-f_;

🔹 в truth-teller (непарадоксальный антипод лжеца, "говорящий правду") — отсутствие опоры у процесса оценки истинности;

🔹 в Ябло — отсутствие опоры в графе семантических зависимостей.

К сожалению или к счастью, зачастую эта важная концепция ускользает от нашего внимания. В том же построении множеств она негласно оберегает от построения “плохих” объектов. А в логике, как мы заметили, часто прячется за широкими плечами самореферентности.

😈 Но иногда особо храбрые математики снимают печать фундированности.


🌌 Что там?


Существуют теории множеств с аксиомой антифундированности (Anti-Foundation Axiom), которые позволяют работать со страшными нефундированными объектами.

Такие теории стали точкой опоры для развития важных направлений теоретической информатики, под общим названием coalgebraic tradition (коалгебры, корекурсии, коиндукции и прочие “ко”). Очень удобный и естественный язык для описания:

• 🌊 потоков;
• ⚙️ процессов
• 🌳 бесконечных деревьев;
• 🎛 конечных автоматов и цепей Маркова и т.д.

А я уже говорил: потоки и процессы — новый тренд.

А быть в потоке лучше со всем необходимым математическим инструментарием!

Перед тем, как отвечать на вопрос, познакомимся с самим парадоксом.

В 1993 году Стивен Ябло предложил конструкцию, которая на первый взгляд не содержит самореференции.


Парадокс Ябло

Представьте бесконечную последовательность предложений:

S₁, S₂, S₃, …

Каждое из них утверждает, что все последующие ложны:

S₁: «Для всех k > 1, Sₖ ложно»

S₂: «Для всех k > 2, Sₖ ложно»

S₃: «Для всех k > 3, Sₖ ложно»

и так далее…

Ни одно утверждение не ссылается на само себя, а только на последующие. То есть, ни одно из них напрямую не является самореферентным.


⚡️ Где возникает противоречие?

Рассмотрим два сценария:


🔹 Сценарий 1:

1️⃣ Пусть какое-нибудь из утверждений, например, S₁₀ истинно

2️⃣ Тогда по определению парадокса все Sₖ при k > 10, в частности S₁₁ — ложны

3️⃣ Но так как после S₁₁ все утверждения ложны, то S₁₁ должно быть истинным

4️⃣ Противоречие


🔹 Сценарий 2:

1️⃣ Предположим, что все Sₖ ложны

2️⃣ Тогда S₁ утверждает, что все последующие ложны

3️⃣ Но это же истинное утверждение, а значит S₁ истинно

4️⃣ Значит не все они ложны

5️⃣ Снова противоречие


🧠 Итог

Мы получили парадокс, в котором ни одно отдельное предложение не говорит о себе - «Это ложное высказывание».

Но возможно самореференция просто скрыта где-то внутри языковой конструкции? Или может она часть чего-то большего?

Посмотрим, поменялось ли ваше мнение?