Часть 1. Альтернативная история анализа
Как мы помним (если не помним, то теперь запомним), изначально теория множеств выросла из проблем анализа.
Но какой бы она была, если бы анализ пошёл другим путём?
🧮 От бесконечно малых до пределов
Сам анализ зародился в XVII веке и развивался усилиями Ньютона и Лейбница. Они активно пользовались понятиями бесконечно малых, не давая их строгого обоснования:
• что это за объекты?
• почему в одних случаях мы работаем с ними как с обычными числами?
• почему в других пренебрегаем ими, будто в нужный момент они волшебным образом превращаются в 0?
Но пока всё работало, какое-то время без формализации можно было обойтись.
Какое-то время...
👻 Призраки ушедших величин
К середине XIX века терпение лопнуло: "призраки ушедших величин" уже использовались повсеместно, и выстраивать дальнейшую строгую теорию на их основе без формализации стало невозможно.
В итоге, стараниями Коши, а затем Вейерштрасса, от них отказались и язык анализа постепенно перешёл к строгой ε-δ форме, которой мы пользуемся и по сей день.
И это как раз одна из развилок, на которой анализ, а за ним теория множеств, да и, возможно, вся математика могли пойти другим путём.
🔀 А если бы оставили бесконечно малые?
🤥 Но что, если бы идеи Коши и Вейерштрасса не восторжествовали. И позже нашёлся бы какой-нибудь Папа Карло, сделавший бесконечно малые "настоящими"
И на самом деле, уже в конце XIX века появились первые серьёзные наработки: неархимедово упорядоченное поле Леви-Чивиты.
Понятие архимедовости здесь ключевое. Оно говорит, что:
Какое бы маленькое x > 0 мы ни взяли, повторяя его достаточно много раз, мы всегда можем превысить 1:
n*x > 1 или 1/n < x.
Но о какой архимедовости может идти речь, если бесконечно малое, наоборот, по определению меньше любого 1/n, т.е. 1/n > ε?
⚠️ Просто иметь бесконечно малые... мало
Но конкуренцию предельному языку, который на тот момент уже вполне состоялся, такие наработки составить уже не смогли. Да и математика ещё не вполне созрела для работы с такими расширенными полями чисел.
💾 Во-первых, нужно было быть уверенным, что новая система чисел сохраняет самые важные алгебраические и порядковые свойства действительных чисел (+, *, < ...)
Но не просто как набор полезных совпадений, а как полноценный модельно-теоретический механизм.
🏛 Во-вторых, из-за своей неархимедовости они теряют замечательное свойство полных архимедовых упорядоченных полей (которое есть у действительных) — каноничность представлений.
И то, что разные их представления дают одну и ту же структуру с точностью до изоморфизма, придëтся доказывать отдельно.
🚀 Робинсон и нестандартный анализ
В нашей ветке истории математика созрела для решения этих задач только к середине XX века. Это воплотилось в нестандартном анализе Робинсона.
«Есть веские основания считать, что нестандартный анализ, в той или иной форме, станет анализом будущего», — Курт Гёдель, 1973
✋ К этому времени ... загибаем пальцы:
1️⃣ Общая топология перешла на язык множеств. Стало можно пользоваться идеями фильтров и ультрафильтров, дающими альтернативу языку последовательностей.
Кстати, ещё ультрафильтры используются для построения новых моделей теории множеств через ультрапроизведения и ультрастепени.
Так что они точно заслужили отдельный пост...
2️⃣ Появились расширения действительных чисел на основе ультрафильтров — гипердействительные числа.
Про них тоже отдельный пост...
3️⃣ Теорема Лося, которая объясняет, почему гипердействительные наследуют важные свойства действительных.
4️⃣ И самое для нас интересное — сформулирована ГИПОТЕЗА КОНТИНУУМА — которая позволяет говорить о каноничности гипердействительных (по крайней мере минимального размера).
И будьте уверены: если бы основным стал нестандартный анализ, гипотезу континуума, не раздумывая, включили бы в стандартный список аксиом теории множеств.
🤔 Но не подрывают ли такие альтернативы веру в то, что теория множеств едина? Или мы просто не видим за ветвями ствола единой первородной теории?..