Часть 2. Фильтры. Начало.
Сегодня поговорим о невсемогуществе привычного нам стандартного анализа. Как математика стала работать с пространствами, где привычных нам последовательностей становится недостаточно для описания простого житейского — “всё ближе и ближе”.
🧮 Последовательности: первая тропинка к пределу
Уверен, вы знакомы с самым базовыми примерами последовательностей:
1, ½, ⅓, ¼, …
И знаете (или по крайней мере чувствуете), что, например, такая стремится к нулю.
📌 Формально: потому что какую бы маленькую окрестность нуля мы ни взяли, начиная с некоторого элемента последовательность туда попадёт и уже не выйдет.
Перефразируя мёртвого классика:
- "После стольких N?"
- "Всегда!"
Такое представление пределов на основе последовательностей настолько для нас обыденно, что кажется вечным и всемогущим. Но это только на первый взгляд. Потому что мы привыкли мыслить внутри метрических пространств. И понятия "Близко" и "Расстояние" в нашей интуиции очень сильно связаны.
Но Жизнь и Математика не ограничиваются метрическими пространствами. Не везде мы можем оперировать расстояниями.
🕳 Когда последовательностей стало не хватать
За рамки метрических пространств выходит топология.
Если очень кратко, более общее — топологическое пространство состоит из множества точек (элементов пространства), на котором выбраны специальные подмножества, называемые открытыми.
📦 Причём, чтобы задать топологию, можно выбрать любые подмножества элементов, главное, чтобы всё их семейство соответствовало нескольким формальным правилам:
1️⃣ Открытым является само множество и пустое множество;
2️⃣ Любое объединение открытых подмножеств тоже даёт открытое подмножество;
3️⃣ Конечное пересечение открытых подмножеств тоже даёт открытое подмножество.
Т.е. в таком общем пространстве у нас есть только точки и некоторые маркированные наборы из этих точек.
Но что в этом случае значит — быть "ближе и ближе", сходиться (иметь предел) в точке?
Для этого нам нужно обобщить идею, которую использовали в привычном анализе.
🛤 Если там мы задавали некое магическое число эпсилон, ограничивающее расстояния; уменьшали его, смыкая челюсти окрестностей и приближаясь к точке.
🛤🚧 То в общем топологическом случае, нельзя так легко, шаг за шагом, проверить приближение. Мы не можем, как в метрических пространствах, гарантировать никакой строгой иерархии окрестностей, так удобно выстраивающейся в счётную лесенку последовательности.
Можем лишь говорить, что последовательность точек в конце концов должна попасть в каждое открытое подмножество, содержащее эту точку. И соответственно, использовать только более общее свойство частичного порядка вместо линейного.
"Без метрики никаких магистралей, только сад расходящихся тропок."
🕸Первый ответ: сети
Первым ответом стали сети Мура–Смита.
Логика довольно простая. Если счётная база нам не гарантируется и, соответственно обычная последовательность начинает барахлить (ведь она индексируется натуральными числами — как раз счётным множеством). Тогда мы возьмём в качестве индексов не натуральные числа, а произвольное направленное множество.
Таким образом, приближение сможет идти не по одной цепочке номеров, а по более разветвлённой системе условий.
❗️Но, несмотря на это заметное преимущество, у сетей сохранялся ещё один минус последовательностей: что одни, что другие являются внешней траекторией — чужеродными для топологии объектами. А всегда удобнее оставаться в рамках языка одной дисциплины. Т.е. в топологическом пространстве удобнее говорить на языке множеств и их открытых подмножеств.
🗑 Второй ответ: фильтры
И вот тут появляются фильтры...
Точнее они появятся в следующем посте 😉
🔜Скоро вернусь с продолжением!