🏺Немного предыстории. Помните, мы уже боролись с парадоксами в одном из прошлых видео?
Так как долгое время считалось, что большинство так называемых "фундаментальных" семантических и теоретико-множественных парадоксов основаны на самореферентности — главным нашим оружием было составление иерархий. На этой идее основаны иерархия типов Рассела и иерархии языков Тарского.
Но в какой-то момент появились сомнения. Ведь если проблема не только в самореферентности, то решения не могут ограничиваться лишь исключением циклических конструкций.
❓Что с Ябло?
А парадокс Ябло как раз породил новый виток обсуждений этого вопроса.
С одной стороны, если рассматривать парадокс целиком как схему высказываний — он самореферентен.
Но если рассматривать самореферентность, как наличие ссылок между самими высказываниями — нет.
❌Почему в таком смысле Ябло не самореферентен?
Для описания ссылочной структуры обратимся за помощью к самому удобному и наглядному для этого инструменту — ориентированным графам (относительно парадоксов их часто называют dangerous reference graphs):
🔹 вершины — это высказывания;
🔹 рёбра — ссылки между ними;
🔹 cамореференция — наличие цикла в графе.
В таком виде различие становится особенно наглядным:
• стандартные самореферентные парадоксы по типу лжеца описываются циклической графовой структурой;
🔁 тот же "лжец" в этих представлениях — граф с одной вершиной и петлей;
🔁 а, например, парадокс открытки — граф с двумя вершинами, каждая из которых указывает на другую.
• парадокс Ябло — ациклический (в этом смысле он изоморфен обычному порядку «меньше» на натуральных числах, в ацикличности которого думаю ни у кого не возникает сомнений).
🕳 Если не самореференцией единой, то что их объединяет?
Почему парадокс Ябло обладает большинством свойств обычных парадоксов самореференции?
Ответ в том, что, их структура зависимостей НЕФУНДИРОВАНА. В ней отсутствует опора:
— будь то зависание в бесконечном цикле;
— будь то бесконечный спуск в парадоксе Ябло.
В математике нефундированность принимает самые разные формы:
🔹 в теории множеств — отсутствие опоры у отношения принадлежности (если смотрели видео про теорию множеств, то помните, что от этого нас спасает аксиома регулярности)
https://youtu.be/0EkY9nq0bGg?si=6K2HVMMZd1_Az-f_;
🔹 в truth-teller (непарадоксальный антипод лжеца, "говорящий правду") — отсутствие опоры у процесса оценки истинности;
🔹 в Ябло — отсутствие опоры в графе семантических зависимостей.
К сожалению или к счастью, зачастую эта важная концепция ускользает от нашего внимания. В том же построении множеств она негласно оберегает от построения “плохих” объектов. А в логике, как мы заметили, часто прячется за широкими плечами самореферентности.
😈 Но иногда особо храбрые математики снимают печать фундированности.
🌌 Что там?
Существуют теории множеств с аксиомой антифундированности (Anti-Foundation Axiom), которые позволяют работать со страшными нефундированными объектами.
Такие теории стали точкой опоры для развития важных направлений теоретической информатики, под общим названием coalgebraic tradition (коалгебры, корекурсии, коиндукции и прочие “ко”). Очень удобный и естественный язык для описания:
• 🌊 потоков;
• ⚙️ процессов
• 🌳 бесконечных деревьев;
• 🎛 конечных автоматов и цепей Маркова и т.д.
А я уже говорил: потоки и процессы — новый тренд.
А быть в потоке лучше со всем необходимым математическим инструментарием!