Математические байки

Биография Пенлеве — тем более: математик, один из создателей аналитической теории дифференциальных уравнений, профессор... А также дважды премьер-министр Франции (причём первый раз — в 1917 году; мягко сказать, не самое простое время).
В скобках — мы сейчас отлично знаем великого математика Анри Пуанкаре; а его двоюродный брат, Раймон Пуанкаре, семь лет... проработал президентом Франции (с 1913 по 1920-й; так что первый раз премьером Пенлеве был при нём).

Уже титульный лист интересен — "по приглашению Его Величества короля Швеции и Норвегии"

Чуть-чуть исторического — читаю сейчас "стокгольмские лекции" Поля Пенлеве (Paul Painlevé) :

https://xaxam.livejournal.com/1388925.html
https://xaxam.livejournal.com/1389776.html
https://xaxam.livejournal.com/1389828.html
https://xaxam.livejournal.com/1390217.html

про геометрии

Да, ещё — Harvard CMSA Math Science Literature Lecture Series выложили видеозапись лекции Дона Загира: https://youtu.be/BBJiDZ8Dr6A . По-моему, было очень круто (и я точно буду пересматривать).

Вот такая замена линейной алгебры на теорию чисел. Мне очень понравилось! (Хотя конечно, у Тома всё это было только ступенькой к тому, что ему на самом деле было нужно.)

И вот мы и получили две сохраняющиеся прямые — и знаем, что если мы их выберем в качестве новых осей координат, то наше отображение одну координату, (a+bφ), будет умножать на φ, а вторую, (a-b/φ) — на (-1/φ). И отсюда сразу видно, почему не просто отношение последовательных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению — а даже разность φF_n - F_{n+1} стремится к нулю: потому что на каждой итерации она умножается на (-1/φ).

Поэтому если бы мы взяли Z[φ'] — мы получили бы то же самое отображение. А значит, оно сохраняет и прямую
a+b φ' = 0 – иными словами, прямую a-b/φ=0 —
переводя любую параллельную ей прямую
a+b φ' = C
в прямую из того же семейства
a+b φ' = -C/φ,
умножая C на φ'=(-1/φ).

Но это одно сохраняющееся направление, а нужно два. Откуда взять второе? А вот откуда: чтобы написать наше отображение, мы воспользовались не самим золотым сечением φ, а только уравнением на него, φ^2=φ+1. А у этого уравнения есть второй корень, φ'=-1/φ.

Так вот — можно изящно без линейной алгебры обойтись. Потому что тождество, что наше преобразование отвечает умножению на φ, оно справедливо не только для целых a и b, но и для вещественных. А потому — оно сохраняет прямую a+bφ=0. Более того, любую из семейства параллельных ей прямых a+bφ=C оно переводит в прямую a+bφ=(φC) из того же семейства, расположенную в φ раз дальше от 0.

Итерируя это преобразование и применяя его к начальной точке (0,1), мы видим все числа Фибоначчи (как раз все точки (F_{n-1},F_n)); и при обычном рассказе применяют линейную алгебру, говоря, что у этого преобразования есть два сохраняемых им направления — и выбрав их в качестве новых координатных осей, мы его диагонализуем.

Несколько дней назад слушал доклад Тома Кемптона (Tom Kempton), и утащил оттуда красивую байку про числа Фибоначчи (хотя доклад был о более сложных вещах, конечно).

Давайте возьмём золотое сечение φ; оно удовлетворяет уравнению φ^2=φ+1.

Посмотрим на множество чисел вида a+bφ, где a и b целые (иными словами, на кольцо Z[φ]). Поскольку φ удовлетворяет уравнению φ^2=φ+1, на этом множестве действует умножение на φ:
φ(a+bφ) = b + (a+b) φ.
В частности, в координатах (a,b) это линейное преобразование. Причём то самое, которое переводит (F_{n-1},F_n) в (F_n,F_{n+1}).
(В частности, отсюда легко увидеть, что φ^n = F_{n-1} + F_n φ.)

Лекция Загира начинается!

продолжаются Harvard CMSA Math Science Literature Lecture Series

в среду (13.01) в 17:00 по Москве — Don Zagier, Quantum topology and new types of modularity

The talk concerns two fundamental themes of modern 3-dimensional topology and their unexpected connection with a theme coming from number theory.

A deep insight of William Thurston in the mid-1970s is that the vast majority of complements of knots in the 3-sphere, or more generally of 3-manifolds, have a unique metric structure as hyperbolic manifolds of constant curvature -1, so that 3-dimensional topology is in some sense not really a branch of topology at all, but of differential geometry.

In a different direction, the work of Vaughan Jones and Ed Witten in the late 1980s gave rise to the field of Quantum Topology, in which new types of invariants of knot complements and 3-manifolds are introduced that have their origins in ideas coming from quantum field theory.

These two themes then became linked by Kashaev’s famous Volume Conjecture, now some 25 years old (…). About 10 years ago, I was led by numerical experiments to the discovery (…) the Volume Conjecture then became part of a bigger story saying that the new invariant has some sort of strange transformation property (…). This turned out to be only the beginning of a fascinating and multi-faceted story relating quantum invariants, q-series, modularity, and many other topics. In the talk, which is intended for a general mathematical audience, I would like to recount some parts of this story (…)

Вот. С Новым Годом!

И — теорема Эмха тоже может быть доказана с помощью инвариантной меры.
А именно — нужно взять в качестве плотности величину
1/\sqrt{|f_0(x) f_1(x)|},
где f_j — степень точки x относительно окружности α_j

Очень похоже на обратную величину к длине касательной, то есть 1/\sqrt{f_0(x)}, которая была в теореме Понселе!

А цитата на картинке — из статьи
Universal measure for Poncelet-type theorems, E. A. Avksentyev and V. Yu. Protasov, Proc. Amer. Math. Soc. 146 (2018); см. https://arxiv.org/pdf/1610.00276.pdf

(Иллюстрация к теореме Штейнера — опять же из слайдов лекции Протасова, http://www.mathnet.ru:8080/PresentFiles/19870/protasov_poncelet.pdf )