Математические байки

Почему из этой теоремы всё следует?

Если окружность α_1 станет большой-большой (и далеко-далеко), то окружности, которые её касаются, рядом с δ ("в конечной области") вырождаются в прямые — и вот мы получаем теорему Понселе для окружностей δ и α_0.

Если окружности α_0 и α_1 концентрические, то окружности, которые их касаются, имеют центры на третьей окружности α' и фиксированный радиус d. И вот теорема о кузнечике для δ и α' с шагом d.

Наконец, для теоремы Штейнера все точки касания лежат на одной окружности δ (ибо это так для концентрических + инвариантность относительно инверсий).

Здесь проведены целых три окружности — через точку "средней" окружности δ проводятся окружности, касающиеся внутренней и внешней окружностей α_0, α_1. А один шаг — взятие следующего пересечения с δ.

(и опять рисунок из слайдов лекции Протасова)

Так вот — оказывается, что все эти три теоремы (Понселе, Штейнер и кузнечик) следуют из одной, более общей — теоремы Эмха.

(рисунок из слайдов Протасова)

Теорема о кузнечике: кузнечик скачет между внутренней и внешней окружностями, каждый раз прыгая на одно и то же фиксированное расстояние.

Но тут можно обойтись и без инвариантной меры: инверсией сделать внешнюю и внутреннюю окружности концентрическими — а в этом случае утверждение становится очевидным.

(рисунок из слайдов Протасова)

Теорема Штейнера: вписываем окружности так, чтобы они касались внутренней и внешней окружностей, и следующая касалась бы предыдущей.

Из той же лекции Протасова: оказывается, что таких "теорем о замыкании" — "если замкнулось из одной точки, то замкнётся за то же число шагов из любой другой" — есть ещё несколько. И каждую можно доказывать с помощью правильно выбранной инвариантной меры.

А именно — кроме теоремы Понселе:
- теорема Штейнера (или теорема о телефонном диске)
- теорема о кузнечике/блохе/зигзаге

карта из недавно вышедшей «Математической прогулки с осмотром особенностей» Э.Жиса (пер. Е.Ю.Смирнов)

«Эта книга видного французского ученого — неформальное введение (в жанре «прогулки») в несколько разделов современной математики. Все темы, затронутые в книге, в большей или меньшей степени связаны с теорией особенностей. Читателю, прошедшему эту прогулку вместе с автором, она поможет выбрать раздел математики, в котором он будет специализироваться, — выбор предлагается широкий.»

https://biblio.mccme.ru/node/76199

Полгода назад я тут, по случаю лекции Этьена Жиса в "математических вечерах ЛШСМ", вспоминал его книгу "A singular mathematical promenade" — теорему Концевича о билете в метро, комбинаторную задачу с ответом из Плутарха и доказательство Гаусса основной теоремы алгебры.

А сейчас вышел её перевод на русский — и за это огромное спасибо выполнившему его Евгению Смирнову!

А вот тут мы его (и разбиения, и треугольные доминошки, и асимптотику количества) уже обсуждали: https://t.me/mathtabletalks/733

Про разбиения на домино (в т.ч. случайные) можно для начала заглянуть в статью Кеньона и Окунькова в колокне «What is…» (и потом читать, например, Lectures on Dimers) или в статью В.Горина «Что можно сложить из кубиков?» в Кванте.

А про подсчет количества разбиений на домино полезно почитать статью М.Вялого в Мат. просвещении (и конкретно про ацтекский бриллиант объясняется, конечно, в одноименной брошюре Е.Смирнова, упоминавшейся здесь в начале года).

Случайное замощение «ацтекского брильянта» доминошками (доминошки покрашены в 4 цвета — по тому, как в них расположена черная клетка)

Давайте я чуть-чуть про ацтекский бриллиант добавлю: вот тут красивая картинка и пара ссылок —

Ну и вот тут мой собственный рассказ на малом ШАДе об асимптотической комбинаторике — о вопросах вида "сколько есть таких больших комбинаторных объектов" и "как такой типичный объект выглядит", и об ацтекском бриллианте в том числе: https://events.yandex.ru/events/m/mshad14?openTalkVideo=640-28 .

В общем — очень хорошее видео; хоть оно и длинное, но я очень советую его посмотреть (промотав начальную часть, если она слишком простая).

(И вот этого рассуждения я раньше не знал.)