Математические байки

И под конец — поведение уголков, когда мы начинаем двигаться вместе с ними, стабилизируется в режим "замораживания":

А в этом видео — по сути, это же рассуждение проведено через движущиеся доминошки (а стрелочки на них это, на самом деле, направление градиента функции высоты) :

И это один из результатов, которым посвящена брошюра Е. Ю. Смирнова, "Три взгляда на ацтекский бриллиант" (https://www.mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-aztec.pdf ); вот тут одно из доказательств — через функцию высоты:

Число разбиений на доминошки у ацтекского бриллианта порядка n равно 2^{1+2+...+n}:

А вот тут — мой любимый ацтекский бриллиант, количество его разбиений на доминошки и "теорема о полярном круге": замороженность разбиений за ним

(Правда, мне чуть больше по душе вариант расстановки, когда бывают все варианты, 1,-1,i,-i, потому что тогда появляется дискретный оператор комплексного дифференцирования, и становится понятно, откуда в дискретной задаче про доминошки — хотя бы в принципе — связь с комплексным анализом.)

Вот кадр с детерминантной формулой — число способов разбивать на доминошки это определитель матрицы смежности между чёрными и белыми вершинами, только соседние элементы там бывают не только 1, но и i — чтобы их произведение компенсировало возникающий знак перестановки:

Вот кадр для числа для доски 8x8 — и можно это сравнить с названием лекции С. К. Смирнова в ЛШСМ-2017 (https://www.mccme.ru/dubna/2017/courses/smirnov-lect.html )

А вот тут — М. Н. Вялый, “Пфаффианы или искусство расставлять знаки…”, Матем. просв., сер. 3, 9, Изд-во МЦНМО, М., 2005, 129–142, http://mi.mathnet.ru/rus/mp/v9/s3/p129 — об этой формуле написано:

Оно начинается с очень простых вещей (что шахматную доску без двух противоположных углов нельзя разрезать на доминошки), но продолжается очень содержательными.
Например — формулой для подсчёта количества разбиений доски mxn:

https://youtu.be/Yy7Q8IWNfHM

в качестве картинок по выходным — продолжение темы разбиений на домино, теоремы о полярном круге для ацтекского брильянта и проч.

Новогоднее видео от Mathologer про разбиения на доминошки:

Поэтому производная полной массы отрезаемой дуги будет равна нулю — то есть сама эта масса постоянна, не зависит от выбора касательной к внутренней окружности. А этого-то мы и хотели!

Давайте тогда возьмём в качестве линейной плотности rho(x)=1/d(x), где d(x) — длина касательной к внутренней окружности из точки x наружной. Тогда « в первом приближении » при вращении касательной масса отрезаемой не будет меняться. Действительно, скорости точек A и B соотносятся как KA:KB, а плотности в этих точках как (1/KA):(1/KB), значит, сколько мы прибавляем за счёт движения A, столько же и теряем за счёт движения B.

Посмотрим, с какими скоростями « бегут » точки A и B (на этой картинке, или F и G на картинке выше) по внешней окружности. Несложно видеть, что отношение этих скоростей как раз равно отношению KA/KB отрезков, на которые касательная делится точкой касания с внутренней окружностью. Потому что угол, на который мы поворачиваем, общий; дальше есть длина отрезка — как раз то, что нам нужно — и угол, под которым хорда врезается в окружность — но эти углы с двух сторон хорды одинаковы!

(Кадр из лекции Протасова на ММО, http://www.mathnet.ru/present19870 )

А доказывается она явной конструкцией: эту плотность можно найти явно.
А именно — чтобы доказать, что функция "масса отрезаемой дуги" постоянна, нужно доказать, что её производная (при движении точки касания по внутренней окружности) равна нулю. То есть нам нужно проверить, что масса дуг FE и GH на картинке выше одинакова хотя бы в первом порядке, когда касательные очень близки.
А две "бесконечно близкие" касательные пересекаются в точке касания — поэтому "почти что" можно считать, что касательная "проворачивается" вокруг точки касания.