Математика с нуляПри каком значении а ∈ R. Функция f(x)=ax-[x] будет периодической? Найдите ее главный период.
Очевидно, что при a = 1 функция является периодической, так как x - [x] = {x}. Покажем, что других a нет. Пусть a > 1. Тогда a = 1 + b, b > 0 и (1+b)x - [x] = x - [x] + bx = {x} + bx. Если предположить, что эта функция периодическая с периодом Т > 0, то на промежутке [0; T] функция {x} и bx ограниченные, т. е. функция {x} + bx ограниченная. А значит, ∃c > 0: ∀x_0 ∈ [x; x+T] |{x}+bx|≤ c. Но при росте x выражение bx неограниченно растет, что приводит к выводу о непериодичности исходной функции. При a < 1 выполняется a = 1 - b, b > 0, и далее рассуждения аналогичны.
Математика с нуляДокажите, что функция y=2{x}-x не является периодической.
Пусть f(x)=2{x}-x, она периодическая и имеет период Т, тогда f(0)=0 и f(0+Т)=f(0). Сделаем некоторые преобразования:
2{x}-x={x}-[x]. Тогда f(T)={T}-[T]=0, т. е. {T}=[T]. Такое возможно только при T=0, но по определению периода функции Т>0. Получили противоречие, следовательно функция f не является периодической.
Математика с нуляДокажите, что функция f(x)={x/a}, a≠0 периодическая. Найдите ее главный период.
Если Т период функции f, то {(0+T)/a}={T/a}=0, то есть T=an, где n принадлежит N. Так как все х принадлежат R {(x+|a|)/a}={x/a}, то |a| – главный период.
Математика с нуляУкажите все функции, являющиеся одновременно четными и нечетными.
Пусть f функция является одновременно четной и нечетной, тогда верно:
Область определения этой функции симметрична относительно нуля. f(x)=f(-x) -f(x)=f(-x) f(x)=f(-x)=-f(x).
А такое возможно только, когда f(x)=0. То есть одновременно четные и нечетные являются функции, область определения которых любое симметричное относительно нуля множество и которые тождественно обращаются в 0 на этом множестве.
МА 
