Очевидно, что при a = 1 функция является периодической, так как x - [x] = {x}. Покажем, что других a нет. Пусть a > 1. Тогда a = 1 + b, b > 0 и (1+b)x - [x] = x - [x] + bx = {x} + bx. Если предположить, что эта функция периодическая с периодом Т > 0, то на промежутке [0; T] функция {x} и bx ограниченные, т. е. функция {x} + bx ограниченная. А значит, ∃c > 0: ∀x_0 ∈ [x; x+T]
|{x}+bx|≤ c. Но при росте x выражение bx неограниченно растет, что приводит к выводу о непериодичности исходной функции. При a < 1 выполняется a = 1 - b, b > 0, и далее рассуждения аналогичны.
Post #620
1.1K
Математика с нуля При каком значении а ∈ R. Функция f(x)=ax-[x] будет периодической? Найдите ее главный период.
- ❤ 2