Известно, что
tg(x/2)=sin(x)/(1+cos(x))
Пусть, sin(x), cos(x) ∈ Q, то так как Q — поле, то частное двух рациональных чисел sin(x) и 1+cos(x) является рациональным числом. Следовательно, tg(x/2) ∈ Q.
Пусть теперь tg(x/2) ∈ Q. Тогда по известным формулам:
sin(x)=2tg(x/2)/(1+tg^2(x/2)),
cos(x)=(1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2)).
Так как tg(x/2) ∈ Q, а Q — поле, замкнутое относительно применяемых алгебраических операций, и 1+tg^2(x/2) не равно 0, то sin(x), cos(x) ∈ Q.
Post #651
921
Математика с нуля Докажите, что значения cos(x) и sin(x) одновременно являются рациональными числами тогда и только тогда, когда рационально значение tg(x/2) (кроме пары значений (-1;0))
- ❤ 3