Математика с нуляЗаметим, что n ≡ 7 (mod 8). Пусть d — натуральный делитель числа n. Пусть n = kd. Перебирая остатки от деления на 8, можно убедиться, что если d ≡ m (mod 8), то k ≡ 8 − m (mod 8). Поэтому все делители числа n разбиваются на пары, сумма чисел в каждой из…
Полезно знать следующие утверждения для решения данной задачи:
Попробуйте доказать данные утверждения. Как по мне, проще, чем сама задача.
Математика с нуляНатуральное число n таково, что (n + 1) | 8. Докажите, что сумма всех натуральных делителей числа n также делится на 8.
Заметим, что n ≡ 7 (mod 8). Пусть d — натуральный делитель числа n.
Пусть n = kd.
Перебирая остатки от деления на 8, можно убедиться, что если d ≡ m (mod 8), то k ≡ 8 − m (mod 8).
Поэтому все делители числа n разбиваются на пары, сумма чисел в каждой из которых кратна 8 (числа в парах различны, поскольку квадрат от деления на 8 не даёт остаток 7).
Математика с нуляЗадача дня Решите в целых числах уравнение: 1) 2^x + 65 = y^2; 2) n! - 1 = k^2.
1) Отметим, что x — положительное число. Кроме того, при одном и том же x из одной пары (x; у), являющейся решением, получается другая пара (x; −у), также являющаяся решением нашего уравнения. Поэтому в дальнейшем можно считать, что у — натуральное число.
Правая часть по модулю 5 может давать остатки 0, 1 или 4. Перебором остатков степеней 2 убеждаемся, что левая часть даёт при делении на 5 остатки 1 или 4 при чётных x. Поэтому решения уравнения существуют лишь с чётными х.
Пусть х = 2а, тогда 2^(2а) + 65 = у^2, откуда 65 = у^2 − 2^(2a), т. е. 65 = (у − 2^a)(у + 2^а). Поскольку второй множитель положителен, то первый тоже должен быть положителен и при этом меньше, чем второй. Таких разложений числа 65 на множители имеется два: 65 = 1 ⋅ 65 и 65 = 5 ⋅ 13.
Таким образом, осталось решить в натуральных числах две системы уравнений: 1) y − 2^2 = 1, y + 2^2 = 65, откуда y = 33, a = 5
и
y − 2^a = 5, y + 2^a = 13, откуда у = 9, а = 2.
Таким образом, уравнение в целых числах имеет четыре решения: (10; 33); (10; −33); (4; 9); (4; −9).
2) При n ≥ 3 левая часть даёт остаток 2 при делении на 3, т. е. не может быть равна квадрату целого числа. Проверка показывает, что n = 0, n = 1 и n = 2 дают решения этого уравнения. То есть уравнение имеет три решения: (0; 0); (1; 0); (2; 1).
а) n = 2008. Делится ли полученное число на 3? б) Каким должно быть n, чтобы полученное число делилось на 3? (Опишите n в терминах остатков от деления.)
Математика с нуляЗадача дня Докажите, что при различных m и n числа 2^m и 2^n имеют различные наборы цифр в десятичной записи.
Если числа 2^m и 2^n имеют одинаковые последовательности цифр в десятичной записи, то эти числа имеют одинаковые остатки при делении на 9, т. е. (2^m − 2^n) | 9.
Итак, (2^n)*(2^[m − n] − 1) | 9.
Перебором остатков степеней 2 по модулю 9 убеждаемся, что наименьшее число k, такое, что 2^k − 1 кратно 9 — это число 6. Поэтому m − n ≥ 6.
Но тогда (2^m)/(2^n) ≥ 2^6 > 10, откуда количества цифр в десятичной записи (и подавно последовательности этих цифр) чисел 2^m и 2^n различны.
Математика с нуляДокажите, что сумма квадратов трех последовательных натуральных чисел не есть точный квадрат.
Рассмотрим остатки от деления на 3 квадратов натуральных чисел:
1, 4, 9, 16, 25, 36, ... 1, 1, 0, 1, 1, 0, ...
Видно, что остатки повторяются. Остаток от деления суммы трех квадратов последовательных натуральных чисел равен либо 1+1+0, либо 0+1+1, то есть всегда равен 2. Квадрат натурального числа имеет остатки 0,1 от деления на 3, получили противоречие.
Следовательно, сумма квадратов трех последовательных натуральных чисел не есть точный квадрат.
Математика с нуляНайдите остаток от деления 3^11^9 на 7
Остатки, даваемые степенями 3 при делении на 7, повторяются через 6. Поэтому ответ задачи зависит от остатка числа 11^9 при делении на 6. В свою очередь, так как 11≡5 (mod 6) , то степени числа 11 дают при делении на 6 остатки 1 и 5 в зависимости от четности показателя степени. Таким образом, 11^9 даёт остаток 5 при делении на 6, а значит, 3^11^9 ≡ 3^5 ≡ 5 (mod 7).
