Математика с нуля on Telegram: “а) Не существует, поскольку n^2 + n + 1 при всех…”

а) Не существует, поскольку n^2 + n + 1 при всех целых n является нечётным числом, а значит, не может делиться на 1996.
b) Верно, что: 1995 | 5.

Тогда n^2+n+1 = 0 (mod 5).

Возможные остатки от деления n на 5: 0, 1, 2, 3, 4.

Пусть n = 0 (mod 5), тогда n^2 = 0 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 1 (mod 5), противоречие.

Пусть n = 1 (mod 5), тогда n^2 = 1 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 3 (mod 5), противоречие.

Пусть n = 2 (mod 5), тогда n^2 = 4 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 7 = 2 (mod 5), противоречие.

Пусть n = 3 (mod 5), тогда n^2 = 9 = 4 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 8 = 3 (mod 5), противоречие.

Пусть n = 4 (mod 5), тогда n^2 = 16 = 1 (mod 5) и n^2 + n + 1 = 6 = 1 (mod 5), противоречие.

Перебрав все возможные остатки, мы выяснили, что n^2+n+1 ≠ 0 (mod 5) ни при каких n.

Чтобы n^2+n+1 делилось на 1995, оно должно делится на каждый из делителей 1995, но на 5 n^2+n+1 не делится, следовательно, на 1995 тоже.