Сегодня у нас бородатая статистика, но я не я, если упущу такой разбор 🐙
На консультациях я часто отсылаю к задачке про осьминога Пауля, чтобы напомнить ребятам про то, как работают бернулли + биномиальное и p-value. Настало время сделать под это свой материал ❤️
Задачка мега-старая, с интервью в Avito 🛍 Она была даже у меня на собесе (а это 2022!). Условие:
Осьминог Пауль делает прогнозы на футбольные матчи. Из n матчей он угадал победителя k раз (для определенности - 14 из 15). Какова вероятность, что результат неслучайный?
🍍 Первым делом переводим "случайность" на язык статистики
Тут ключевое - узнать в условии проверку гипотез:
➡️ H₀ (нулевая): Пауль предсказывает наугад. Тогда каждый матч - честная монетка, вероятность угадать p = 0.5.
➡️ H₁ (альтернативная): у Пауля дар, он угадывает лучше, чем 50/50, а p > 0.5.
По умолчанию мы "верим" в H₀ (это просто везение) и пытаемся понять: достаточно ли данных, чтобы ее отвергнуть.
🍍 Почему тест односторонний?
Для "сверхспособности угадывать" логичен именно односторонний тест (p > 0.5). Потому что нас интересует движение параметра p именно в (+). Лучше этот момент сразу проговорить вслух 😎
🍍 Какое распределение будем использовать?
Смотрим на структуру задачи. У нас есть:
✔️ n независимых испытаний (матчей)
✔️ каждое с двумя исходами (угадал / не угадал)
✔️ вероятность успеха в каждом одна и та же (при H₀ это p = 0.5)
Количество угаданных Паулем матчей - по сути, "сумма успехов в схеме Бернулли". Это по определению Биномиальное (см. нашу шпаргалку по Бернулли и Биномиальному).
Поэтому число угаданных матчей X при верной H₀ распределено как X ~ Binomial(n, p), где n=15, а p=0.5.
Вероятность угадать ровно k из n:
P(X = k) = C(n, k) · 0.5ⁿ
Класс, довели до биномиального, это уже половина ответа ✌️
🍍 Как мы можем отвергнуть H₀ ?
Мы можем посчитать p-value! p-value по определению - это вероятность получить наше значение или более критическое при условии что нулевая гипотеза верна.
И для этого у нас все есть! Мы знаем, что P(X = k) = C(n, k) · 0.5ⁿ, и n=15. Нам надо посчитать:
P(X = 14) + P(X = 15) = (C(15, 14) + C(15, 15)) · 0.5¹⁵ = (15 + 1) · 0.5¹⁵ ≈ 0.000488
- А что с альфочкой?
❗️ p-value не используется в абстракции, мы сравниваем его с альфой, и после этого делаем вывод о том, следует ли отвергать нулевую гипотезу.
Для корректности решения это обязательно проговорить с интервьюером. Но мы видим, что p-value прям мизерный, поэтому вывод о неслучайности напрашивается сам собой.
🍍 "А сами-то вы в это верите?"
Это стандартный вопрос, который шел после кейса. Ну и тут логично, что намек на "нет" 🤓
Идея в том, где проходит граница между статистикой и здравым смыслом.
➡️ p-value отвергает конкретную H₀, но не доказывает именно "сверхъестественный дар"
Осьминог мог тянуться к более яркой кормушке или флажкам, да и везение тут никто не отменял.
Маленькое p-value говорит "это не похоже на честную монетку", а не "это магия".
➡️ Это выброс из распределения осьминогов
Если по миру предсказывает много осьминожек, то у кого-то экстремальный результат случится просто по теории вероятностей.
Мы замечаем Пауля именно потому, что он угадал, а про тысячи неугадавших осьминогов никто не пишет - это ошибка выжившего 🐙
➡️ Надо проверять на бОльшей выборке
Гипотеза "осьминог нарушает физику и видит будущее" априори настолько маловероятна, что 15 матчей ее не перевесят.
———
Ну в общем все тлен, и в магию мы тут не верим. Зато повторили работу с гипотезами 🙃
Как обычно, жду ваших 🔥🔥🔥
Олды, колитесь, кто попадался на осьминога Пауля? Классика классик 🥰
———
Предыдущие выпуски:
vol. 2 | vol. 3 | vol. 4 | vol. 5 | vol. 6
vol. 7 | vol. 8 | vol. 9 | vol. 10 | vol. 11