Продолжаю мучить тервер 🥰 Сегодня маленькая, но полезная задачка, чтобы вспомнить правила работы с матожиданием и дисперсией.
Задачка с интервью в 📱. Условие:
Математическое ожидание случайной величины X равно 2, дисперсия равна 3. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины 5X + 2.
Используем свойства математического ожидания и дисперсии:
➡️ E(aX + b) = a · E(X) + b
➡️ Var(aX + b) = a² · Var(X)
Подставляем значения:
• E(5X + 2) = 5 · E(X) + 2 = 5 · 2 + 2 = 12
• Var(5X + 2) = 5² · Var(X) = 25 · 3 = 75
—————————
Раз уж задачка маленькая, давайте вспомним еще несколько важных правил работы с матожиданием и дисперсией 🥁🥁🥁
А то мало ли на собесе вам встретится другая вариация задачки 🙃
1️⃣ E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Это правда даже если X и Y зависимы. Матожидание всегда линейное, и в этом его суперсила.
2️⃣ Var(X) = E(X²) − (E(X))²
Просто рабочая формула, которая часто выручает. Берется она из определения дисперсии:
Var(X) = E[(X - E[X])²] = E[X² - 2 · X · E[X] + (E[X])²] = E[X²] - 2 · E[X] · E[X] + (E[X])² = E[X²] - (E[X])²
Тут важно понимать следующее: когда мы раскладываем E[(2 · E[X]) · X], 2 · E[X] внутри круглых скобок - это уже константа. А E[a · X] = a · E[X], где a - это константа. Поэтому у нас и выходит 2 · E[X] · E[X].
Кстати, по этой же логике можно разложить Cov(X,Y):
Cov(X, Y) = E[(X − E[X])(Y − E[Y])] = E[XY − X · E[Y] − E[X] · Y + E[X] · E[Y]] = E[XY] - E[X] · E[Y] - E[X] · E[Y] + E[X] · E[Y] = E[XY] - E[X] · E[Y]
3️⃣ E(XY) = E(X) · E(Y), если X и Y независимы
А вот это напрямую следует из формулы выше.
Cov(X, Y) = E[XY] - E[X] · E[Y]
Это значит, что E[XY] = Cov(X, Y) + E[X] · E[Y]
4️⃣ Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 · Cov(X, Y)
В общем случае Var(X + Y) ≠ Var(X) + Var(Y). Это будет верно только если X и Y независимые.
5️⃣ Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) − 2 · Cov(X, Y)
Некоторым интуитивно кажется, что при вычитании разброс должен уменьшаться, но по факту неопределенность и разброс растут.
—————————
Признавайтесь, все формулы помнили? ☺️ Жду ваших 🔥🔥🔥