​Что общего между Евангелием, эвкалиптом, эйфорией и эукариотом?

Очевидно, начало eu-, которое образовано от греч eus = хороший или eu = хорошо

Это знание раскрывает суть следующих слов:

Евангелие = хорошее послание/благая весть (к слову, ангел - греч посланник)

Эвкалипт - хорошо + укрытый/покрытый. Получил название в 1788 году из-за того, что держит лепестки закрытии даже при цветении. Кстати, нимфа Калипсо (а также спутник Сатурна и корабль Кусто, см. акваланг) - тот же корень kalypt со значением 'спрятанный'

Эукариот - хорошее + ядро. Организмы, клетки которых содержат ядро

Эйфория - хорошо + нести. Здесь фор - тот же, что в Христофор = несущий Христа, фосфор = несущий свет и т.д.

Эвтаназия - хорошо + умирать (от греч танатос)

Эвфемизм - хорошо + говорить

Евхаристия - хорошо + проявлять благосклонность

Эвфония - хороший + звучание, т.е. благозвучие

Евгений/евгеника - от хорошее + рождение, т.е. благородное происхождение

Евклид - хорошо + известный, т.е. прославленный

Евлампий - хороший + свет, т.е. светлосияющий

Евфросиния - хороший + ум, т.е. благомыслящая

Евдоким - хороший + слава

Эвтерпа (муза музыки) - хороший + восхищать

Само же eu- образовано от протоиндоевр *es- = быть, но это уже другая история :)