Энтропия фон Неймана.

Энтропия фон Неймана квантовой системы, или просто "квантовая энтропия", считается по формуле:
S(ρ) = - Tr(ρ · ln ρ)

, где Tr обозначает след матрицы, а ln ρ — матричный логарифм матрицы плотности ρ.

Чтобы посчитать след матрицы, нужно найти собственные значения матрицы λᵢ. Для поиска собственных значений нужно решить характеристическое уравнение. Тогда энтропию можно выразить как сумму по всем λᵢ:
S(ρ) = - Σ(λᵢ · ln λᵢ)

По этой формуле энтропия любого чистого квантового состояния равна 0. Также энтропия всех базисных состояний нашей квантовой системы тоже равна нулю. То есть, можно записать:
S(∣ψ⟩⟨ψ∣) = 0
S(∣0⟩⟨0∣) = 0
S(∣1⟩⟨1∣) = 0

Энтропия не равна нулю только для смешанных квантовых состояний. Если все внедиагональные элементы матрицы плотности равны нулю, то есть когда матрица диагональная, то ее собственные значения равны диагональным элементам. В этом случае энтропия фон Неймана соответствует энтропии Шеннона для вероятностей нахождения квантовой системы в своих базисных состояниях. Что очень логично, так как в случае отсутствии когерентности между квантовыми состояниями, энтропия отражает степень неопределённости результатов квантового измерения.

Давайте рассчитаем энтропию фон Неймана для нашего кубита в смешанном состоянии с вероятностями 0.5. Его матрица плотности:
ρ = (0.5 0)
(0 0.5)

Собственные значения λ₁ = 0.5, λ₂ = 0.5.
S(ρ) = -(0.5·ln0.5 + 0.5·ln0.5) = ln2 ≈ 0.69 нат, что соответствует 1 биту.

И это максимальная энтропия кубита, так как если бы диагональные элементы были другие, например 0.3 и 0.7, то энтропия бы равнялась 0.61 нат или 0.88 бит. Так как максимальная энтропия кубита может достигать 1 бита, то при его измерении можно получить не больше 1 бита классической информации.

Квантовая энтропия позволяет нам определить количество неизвестной информации о квантовой системе, и максимум классической информации, которую можно получить при измерении квантовой системы. Также энтропия фон Неймана определяет степень декогеренции квантовой системы.

Энтропия фон Неймана, как и энтропия Шеннона, является субаддитивной. Это значит, что энтропия системы меньше или равна сумме энтропий ее подсистем. Если мы возьмем квантовую систему, состоящую из двух квантово-запутанных кубитов в состоянии Белла, то ее энтропия будет равна нулю. Однако, энтропия каждого из этих кубитов будет равна 1 биту, так как каждый из них по отдельности находится в смешанном квантовом состоянии. Но так происходит только в случае разделения запутанной квантовой системы на части. Если же мы возьмем две разные квантовые системы, не запутанные друг с другом, то энтропия фон Неймана двух систем будет равна сумме энтропий обоих. В этом случае квантовая энтропия становится аддитивной, как и классическая энтропия Больцмана.

Здесь я пишу, что все типы энтропии (Клаузиуса, Больцмана, Шеннона, Беккенштейна и фон Неймана) количественно описывают одну и ту же характеристику физической системы.

#КвантоваяФизика@entropians #Энтропия@entropians #Теория@entropians #Инфофизика