Матрица плотности.

Обычно при квантовомеханических расчетах работа идет с волновой функцией в бесконечномерном гильбертовым пространстве, потому что, например, фотон может иметь потенциально сколь угодно большую энергию, или электрон в атоме водорода может теоретически находиться на сколь угодно удаленной орбитали. Но когда мы работаем со спином электрона, то он может принимать только одно из двух состояний: спин вверх или вниз в проекции на одну ось.

В этом упрощённом случае спин электрона становится кубитом — квантовой частицей с двумя квантовыми состояниями. Для одного кубита гильбертово пространство имеет всего 2 оси. Спин вверх — состояние ∣0⟩ и спин вниз — состояние ∣1⟩. Состояние кубита или волновая функция — это вектор в этом двухмерном гильбертовом пространстве:
∣ψ⟩ = α∣0⟩ + β∣1⟩, где α и β — компоненты вектора, комплексные числа, удовлетворяющие нормировке ∣α∣² + ∣β∣² = 1. Такая нормировка выбрана потому, что ∣α∣² — это вероятность нахождения спина в состояни вверх, ∣β∣² — это вероятность нахождения спина в состояни вниз, а сумма этих двух вероятностей всегда равна 1.

Квантовое состояние может быть чистым или смешанном. Волновая функция может описать только чистое квантовое состояние, но не смешанное. Для описания обоих типов состояний существует более универсальный инструмент под названием "матрица плотности", обозначается ρ. Она содержит в себе всю квантовую информацию о рассматриваемой системе.

Для чистого состояние, которое мы рассмотрели выше, матрица плотности равна:
ρ=∣ψ⟩⟨ψ∣ = (α) × (α* β*) =
(β)

= (∣α∣² α·β*)
(α*·β ∣β∣²)

Для примера рассмотрим случай чистого квантового состояния, когда α = β = 1/√2 . В этому случае говорят, что кубит находится в суперпозиции состояния вверх и вниз с одинаковой вероятностью 50%. Тогда α*·β = α·β* = ∣α∣² = ∣β∣² = ½, а матрица плотности принимает вид:
ρ = ½ · (1 1)
(1 1)

Смешанное состояние — это когда частица (квантовая система) находится в статистической смеси различных квантовых состояний ψᵢ. Тогда матрица плотности выражается через сумму по всем i:
ρ = Σ pᵢ∣ψᵢ⟩⟨ψᵢ∣, где pᵢ — это вероятность нахождения системы в состоянии ψᵢ.

Если наш кубит находится в смешанном состоянии спина вверх и вниз с вероятностями p₁ = p₂ = 50%, то ∣ψ₁⟩ = ∣0⟩, ∣ψ₂⟩ = ∣1⟩, тогда:
ρ = ½ · ∣0⟩⟨0∣ + ½ · ∣1⟩⟨1∣

Матрицы плотности чистых базисных состояний кубита равны:
∣0⟩⟨0∣ = (1 0)
(0 0)

∣1⟩⟨1∣ = (0 0)
(0 1)

Подставляем в формулу и получаем:
ρ = ½ · (1 0) + ½ · (0 0) =
(0 0) (0 1)

= ½ · (1 0)
(0 1)

Мы получили, что матрица плотности смешанного состояния отличается от матрицы чистого состояния занулением внедиагональных элементов. В чистом квантовом состоянии спин находит в суперпозиции состояния вверх и вниз. А в смешанном состоянии спин находится либо в состоянии вверх, либо вниз, с определенной вероятностью, но квантовой суперпозиции уже нет.

Диагональные элементы матрицы плотности описывают вероятности нахождения системы в конкретных базисных состояниях при измерении.

Внедиагональные элементы содержат информацию о фазовых корреляциях и когерентности между состояниями. Они влияют на интерференционные эффекты и показывают степень квантовой суперпозиции между состояниями.

Потеря (или уменьшение значений) внедиагональных элементов матрицы плотности называется декогеренцией квантового состояния, она сопровождается потерей квантовой информации.

* звездочка обозначает комплексное сопряжение, то есть изменение знака у мнимой части числа.

#КвантоваяФизика@entropians
#Теория@entropians