Космологические горизонты.

Напомню, что в модели ΛCDM у нас масштабный фактор пространства зависит от времени следующем образом:
a(t) = (Ωₘ/Ωₗ)^⅓ · sinh^⅔(1.5√Ωₗ·H₀·t)

Возьмем H₀ ≈ 67.4 км/с/Мпк по данным космического аппарата Планк,
t₀ ≈ 13.8 млрд лет — текущий возраст Вселенной.

Горизонт Хаббла определяется как расстояние, на котором скорость удаления покоящихся объектов за счет расширения пространства равна скорости света:
Rₕ(t₀) = с/H₀ ≈ 14.5 млрд св. лет.

Горизонт частиц (или размер наблюдаемой Вселенной) — это максимальное расстояние с которого успел дойти свет за время жизни Вселенной. Чтобы его посчитать, нужно просуммировать все малые расстояния dr пройденные фотоном за время dτ с учетом масштабного фактора a(τ):
c·dτ = a(τ)·dr
∫₀ᴿ dr = ∫₀ᵗ c dτ/a(τ)
Rₘ(t) = ∫₀ᵗ c dτ/a(τ) = (c/H₀)⋅∫₀∞ dz/√(Ωₘ(1+z)³ + Ωₗ), где z — красное смещение a(t) = 1/(1 + z(t))

Аналитически этот интеграл, к сожалению, не берется, но считается числено. Численный расчет дает значение:
Rₘ(t₀) ≈ (c/H₀) ⋅ 3.2 ≈ 46 млрд св. лет.

Можно было бы сказать, что за время 13.8 млрд лет, прошедшее с Большого взрыва, пространство расширилось в 3.4 раза, поэтому размер Вселенной сейчас 46 млрд св. лет. Но в момент Большого взрыва масштабный фактор a(0) = 0, а сейчас a(t₀) = 1. То есть реально Вселенная за это время расширилась в бесконечное количество раз, но если усреднить интегралом, то получится 3.4.

Горизонт событий — это расстояние, на которое сможет за бесконечное время улететь свет, который испустили сейчас. Аналогично из c·dτ = a(τ)·dr получаем:
Rₑ(t) = a(t)⋅∫ₜ∞ (c ·dτ/a(τ)) = (c/H₀)⋅∫₀∞ dz/((1+z)√(Ωₘ⋅(1+z)³ + Ωₗ))

Аналитически тоже не считает, но численный расчет дает значение:
Rₑ(t₀) ≈ (c/H₀) ⋅ 1.1 ≈ 16 млрд св. лет.

Горизонт де Ситтера. Как я писал в предыдущем посте, при доминировании темной энергии (как сейчас) мы наблюдаем экспоненциальное расширение пространства:
a(t) ≈ (Ωₘ/Ωₗ)^⅓ · [½e^(1.5√Ωₗ·H₀·t)]^⅔ = const · e^(√Ωₗ·H₀·t)

Тогда
Rₑ(t) = a(t)⋅∫ₜ∞ [c·dτ/a(τ)] = a(t)⋅∫ₜ∞ [c·dτ/(a(t)·e^(√Ωₗ·H₀·(τ–t)))]
сделаем замену ξ = τ – t, при τ = t → ξ = 0, и получим:
Rₑ = c⋅∫₀∞ e^(–√Ωₗ·H₀⋅ξ) dξ = c/(√Ωₗ·H₀)

Таким образом, при экспоненциальном расширении Вселенной, горизонт событий больше не зависит от времени и фиксируется на значении c/(√Ωₗ·H₀). Параметр Хаббла тоже фиксируется на постоянном H(∞) = √Ωₗ·H₀

Этот результат и называется горизонтом де Ситтера, и он будет равняться горизонту Хаббла в будущем:
Rₕ(∞) = Rₑ(∞) = c/(√Ωₗ·H₀) ≈ 17.5 млрд св. лет.

#Космология@entropians