Энтропия Луивилля.

Чаще говорят fine-grained энтропия. Можно перевести как мелкозернистая, тонкая или детализированная энтропия.

Её можно определить даже для одной частицы. Но обычно рассматривают N частиц в некотором ограниченном объеме, которые двигаются по правилам гамильтониановой механики. У каждой частицы есть набор из трёх обобщенных координат qᵢ и соответствующих импульсов pᵢ.

Со временем у каждой частицы координаты и импульсы «движутся» по некоторой траектории в своем 6-мерном фазовом пространстве. А у всей системы координаты и импульсы «двигаются» по траектории в 6N-мерном пространстве. Эта траектория описывает некий фазовый объем в этом пространстве. Так вот, логарифм этого фазового объема и есть fine-grained энтропия:
S = −k ∫ ρ(q, p) ln(ρ(q, p)) dq dp

Поскольку в квантовой механике фазовое пространство дискретно в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга: ΔqΔp ≥ ℏ⁄2, то заменяем интеграл на сумму:
S = k Σᵢ₌₁³ᴺln(QᵢPᵢ/h)
, где Qᵢ и Pᵢ — диапазоны соответствующих координат и импульсов.

Эта энтропия соответствует объему информации, необходимому для кодирования точки состояния системы в любой момент времени в этом фазовом пространстве.

В качестве примера, мы делали расчет этой информации, когда считали энтропию идеального газа. Там же мы получили, что эта fine-grained энтропия с точностью до константы равна термодинамической энтропии Клаузиуса.

Существует теорема Луивилля, которая доказывает, что этот фазовый объем, а вместе с ним и энтропия, сохраняется во времени для механической системы.

Таким образом, для любой системы, состоящей из частиц, которые двигаются по правилам классической механики, можно ввести энтропию, как количество бит, необходимых для кодирования состояния этой системы. И объем этой информации постоянен во времени.

#Энтропия@entropians