Математика Дата саентиста

Статистическое определение вероятности
Пусть случайный опыт повторяется n раз в неизменных условиях (проводится n испытаний) и при этом определенное случайное событие A появляется mₐ__раз. Тогда оказывается, что при достаточно большом __n отношение mₐ/n (относительная частота события A) для большинства таких серий испытаний сохраняет почти постоянное значение, причем заметные отклонения частот от этого значения наблюдаются тем реже, чем больше n.

Естественно предположить, что существует некоторая постоянная P̃(A), около которой колеблется относительная частота mₐ/n. Таким образом, величина P̃(A) является объективной числовой характеристикой случайного события A, ее разумно назвать вероятностью события A.
Значит событие A обладает вероятностью, если:
а) Можно, хотя бы принципиально, провести в неизменных условиях любое число независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или нет.
б) Относительная частота события A для больших серий испытаний в большинстве случаев незначительно отклоняется от некоторой неизвестной постоянной. В качестве приближенного значения этой постоянной можно взять относительную частоту события A, найденную при большом числе испытаний.
Вероятность P̃(A), определенная таким способом, называется статистичской вероятностью.
Она обладает теми же свойствами:
1. P̃(A)≥0 для любого события A
2. P̃(Ω) = 1
3. P̃(A+B) = P̃(A) + P̃(B) для любых несовместных событий (AB = ∅)

@data_math

📚 9 книг по теме: Теория чисел

Весомый вклад в становление теории чисел оказали пифагорейцы, Евклид и Диофант. Пифагорейцы рассматривали только целые положительные числа и полагали число собранием единиц. Единицы были неделимы и располагались в виде правильных геометрических тел. Пифагорейцам характерно определение «фигурных чисел» («треугольных», «квадратных» и других). Изучая свойства чисел, они разбили их на чётные и нечётные, простые и составные. Вероятно, именно пифагорейцы с помощью только признака делимости на два смогли доказать, что если 1 + 2 + ... + 2ⁿ = p - простое число, то 2ⁿ∙p — совершенное число. Доказательство изложено в «Началах» Евклида (IX, 36). Только в XVIII веке Эйлер доказал, что других чётных совершенных чисел не существует, а вопрос о бесконечности числа совершенных чисел до сих пор не решён.

📗 Лекции по теории чисел [2008, ФИЗМАТЛИТ] Сизый С.В.
📘 Основы теории чисел [1966] Бухштаб А.А.
📕 Алгебра и теория чисел [1984] Казачек, Перлатов, Виленкин, Бородин
📙 Основы теории чисел [2006] Виноградов И. М.
📔 Высшая арифметика. Введение в теорию чисел [1965] Дэвенпорт Г.
📓 Теория чисел [1967] Михелович Ш.Х.
📗 Введение в теорию чисел [1984] Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б.
📘 Приглашение в теорию чисел [1980] Ойстин Оре
📕 Теория чисел [2008] Нестеренко Ю.В.

♾ Показательные уравнения и неравенства. Задачи

Приводятся задачи с типовыми показательными неравенствами и уравнениями.

#задачи #алгебра #математика #math

📹 Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентам

@data_math

📙 Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine [1948] Norbert Wiener
📗 Из истории кибернетики [2006] Я.И. Фет.
📘 Человек и машина MIT speech [1965] Норберт Винер
📕 The Human Use Of Human Beings Paperback [1988] Norbert Wiener
📓 Норберт Винер: у истоков компьютерной этики С.В. Минаев
📒 Творец и робот [1964] Норберт Винер
📔 Норберт Винер Краткая биография
📘 Кибернетика и общество [1958] Норберт Винер
📗 Я — математик. Дальнейшая жизнь вундеркинда [2001] Норберт Винер
📕 Творец и робот. Обсуждение некоторых проблем, в которых кибернетика сталкивается с религией [1966] Норберт Винер
📙 Бывший вундеркинд. Детство и юность [2001] Норберт Винер

Книга заложила теоретические основы для сервомеханизмов (неважно, будь то электрические, механические или гидравлические), автоматической навигации, аналоговых компьютеров, искусственного интеллекта, нейронауки и надёжной связи. Второе издание книги с некоторыми небольшими изменениями и двумя дополнительными главами было опубликовано в 1961.

📹 Решите уравнение y''=1/(4√y) / Дифференциальные уравнения / Берман

@data_math

〰️ Получение асимптотических оценок убывания математических выражений с радикалами

Пример того, как можно преобразовать некоторые части выражения, использую домножения на сопряженное (избавление от неопределенности с корнями) и бесконечно малые функции (имеем право, ибо n растёт).

🖥 Еще одна логико-математическая задача.

Баночки с таблетками

Есть двадцать баночек с таблетками. Почти во всех таблетки весят по 1 г, и только в одной — по 1,1 г. У нас есть точные кухонные весы, с помощью которых нужно определить баночку, каждая таблетка которой весит 1,1 г. Как это сделать, если можно взвесить только 1 раз?

Решение
Представим, что у нас 2 баночки, в одной из которых таблетки более тяжёлые. Даже если мы поставим их обе на весы, мы ничего не узнаем. Но если мы достанем из одной баночки одну таблетку, а также одну таблетку из другой, и положим их на весы — вот тогда-то и откроется истина. В данном случае вес будет 2,1 г или 2 г (в зависимости от того, какие по весу таблетки мы взяли). Так и определяем нашу баночку.

Вернёмся к задаче. Из каждой баночки нужно доставать разное количество таблеток. То есть из первой баночки 1 таблетку, из второй — 2, из третьей — 3 и так далее. Если бы каждая таблетка весила по 1 г, общий вес составил бы 210 г. Но поскольку в одной из баночек таблетки тяжелее, вес будет больше. Для определения нужной баночки просто воспользуемся формулой:

№ тяжелой баночки = (вес - 210) * 10

@data_math

📚 6 лучших книг по теории вероятностей и математической статистике

📘 Теория вероятностей и математическая статистика [2008] Кремер
📗 Теория вероятностей и математическая статистика [2005] Кибзун, Наумов
📕 Вероятность и статистика в примерах и задачах [Том 1] Кельберт, Сухов 2007
📔 Вероятность и статистика в примерах и задачах [Том 2] Кельберт, Сухов 2009
📙 Вероятность и статистика в примерах и задачах [Том 3] Кельберт, Сухов 2013
📓 Теория вероятностей и математическая статистика [2004] Гмурман

Для освоения теории вероятностей и математической статистики тренировка в решении задач и выработка интуиции важны не меньше, чем изучение доказательств теорем; большое разнообразие задач по этому предмету затрудняет студентам переход от лекций к экзаменационным задачам, а от них — к практике.
#математика #статистика #подборка_книг #теория_вероятностей #комбинаторика

@data_math

А как насчёт такой логико-математической задачи?

Предположим, у нас есть две верёвки и бесконечное множество спичек. Каждая из этих верёвок сгорает за один час. Но вот беда — горят они неравномерно, поэтому невозможно узнать наверняка, за какое время сгорит какая-то часть веревки.

Можно ли отмерить этими двумя верёвками 45 минут, и если да, то как это сделать?

Решение

Отмерить можно. Пусть верёвки и горят неравномерно, но сгорают они точно за 1 час. В этом случае можно:

Поджечь одну верёвку с двух концов.
На второй верёвке поджечь только 1 конец.
Первая верёвка сгорит за 30 минут, и в этот момент поджигаем второй конец второй верёвки: на это уйдут оставшиеся 15 минут.

@data_math

📌 Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способа

@data_math

📚 6 книг по математической статистике на английском языке

✔️ Скачать книги

«Не принимай на веру того, что говорит статистика, пока тщательно не изучишь, о чем она умалчивает»
Уильям Уотт

«Статистику можно рассматривать как науку и как метод. Как наука она стремится к изложению политического, экономического и социального положения народа или вообще группы населения; с этой точки зрения ее называют также демографией. . . Статистика. . . располагает методом наблюдения, который состоит: 1) в использовании чисел 2) в их группировке с целью выделения (относительно) постоянных фактов, т. е. в отделении их от случайных фактов; 3) в сравнении. . . различных эпох, различных мест и различных обстоятельств; 4) в использовании собранных и математически обработанных данных для индукции и дедукции» (М. Block. Traite theorique et practique de statistique).

#подборка_книг #теория_вероятностей
#математическая_статистика #статистика #комбинаторика #математика #maths #math

@data_math

⭐️ Миноры и алгебраические дополнения

▪Статья

@data_math

📚 Подборка книг по теории графов [15 книг]

Теория графов — раздел дискретной математики, изучающий графы. В самом общем смысле граф — это множество точек (вершин, узлов), которые соединяются множеством линий (рёбер, дуг). Теория графов (то есть систем линий, соединяющих заданные точки) включена в учебные программы для начинающих математиков.

📒 Теория графов [2002] Дистель Р
📓 Теория графов, теория кодирования и блок-схемы [1980] Камерон П., Ван Линт Дж.
📕 Теория графов: покрытия, укладки, турниры [1974] Алексеев, Гаврилов, Сапоженко
📔 Теория графов и ее применения [1962] Берж К.
📗 Лекции по теории графов [1990] Емеличев
📘 Graph Theory [2017] Reinhard Diestel
📙 Введение в теорию графов [1977] Р. Уилсон
📒 Теория графов [2003] Фрэнк Харари (Harary)
📕 Теория графов [1980] Оре О
📔 Химические приложения топологии и теории графов [1987] Кинг
📗 Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии [1988] Ловас, Пламмер
📘 Применение теории графов в программировании [1985] Евстигнеев
📙 Основы теории графов [2004] Зыков
📒 Теория графов в занимательных задачах [2009] Мельников

#подборка_книг #математика #теория_графов #алгоритмы

🔣 Вычисление определителя четвертого порядка

@data_math

📕 Численное решение обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений 2 изд. [2018 + 2022] Скворцов

Книга посвящена численному решению задач с начальными условиями для обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений. Рассматриваются явные и неявные, одношаговые и многошаговые методы, среди которых новые оригинальные методы. Особое внимание уделено решению жестких задач (в том числе и с использованием специальных явных методов), а также решению дифференциально-алгебраических задач высших индексов. Наряду с теоретическими результатами приведены результаты решения тестовых задач и рассмотрены вопросы программной реализации численных методов.
Для всех, кто интересуется численными методами решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений.

• Постановка задачи Коши для систем ОДУ и ДАУ, различные классы задач и методы их решения
• Явные методы Рунге-Кутты для нежестких задач
• Рекомендации по выбору оптимальных коэффициентов
• Два способа построения вложенных пар методов с оцениванием ошибки
• Одношаговые методы низкой точности
• Теоретические и экспериментальные результаты о сходимости методов Рунге-Кутты
• Упрощенные условия порядка
• Конкретные методы с минимизированными функциями погрешности
• Неявные методы, обладающие повышенной точностью при решении жестких задач и ДАУ.
• Одношаговые и многошаговые методы с расширенными областями устойчивости

@data_math

📚 Курс дифференциального и интегрального исчисления [2013] Фихтенгольц Г.М.

«Курс дифференциального и интегрального исчисления» Григория Михайловича Фихтенгольца - выдающееся произведение научно-педагогической литературы, выдержавшее множество изданий и переведенное на ряд иностранных языков. «Курс ...» не имеет себе равных по объему охваченного фактического материала, количеству разнообразных приложений общих теорем в геометрии, алгебре, механике, физике и технике. Многие известные современные математики отмечают, что именно «Курс ...» Г. М. Фихтенгольца привил им в студенческие годы вкус и любовь к математическому анализу, дал первое ясное понимание этого предмета.

Основной теоретический материал, вошедший в «Курс ...», - это классическая часть современного математического анализа, окончательно сформировавшаяся к началу XX столетия (не содержащая теории меры и общей теории множеств). Эта часть анализа преподается на первых двух курсах университетов и входит (целиком или в значительной части) в программы всех технических и педагогических вузов. I том «Курса ...» включает дифференциальное исчисление одной и нескольких вещественных переменных и его основные приложения, II том посвящен теории интеграла Римана и теории рядов, III том - кратным, криволинейным и поверхностным интегралам, интегралу Стилтьеса, рядам и преобразованию Фурье.

В 8-м издании «Курса ...» Г. М. Фихтенгольца, предлагаемом вниманию читателя, устранены опечатки, обнаруженные в ряде предыдущих изданий. Кроме того, издание снабжено краткими комментариями, относящимися к тем местам текста (весьма немногочисленным), при работе с которыми у читателя могут возникнуть те или иные неудобства; примечания делаются, в частности, в тех случаях, когда используемый автором термин или оборот речи чем-либо отличаются от наиболее распространенных в настоящее время.

@data_math

💡Задача о 100 узниках и 100 ящиках — задача в теории вероятностей и комбинаторике. Суть задачи заключается в том, что каждый из 100 узников должен найти свой номер в одном из 100 ящиков, чтобы все они выжили; если хотя бы один не справится, умрут все. Каждый узник может открыть только 50 ящиков и не может общаться с другими узниками, за исключением предварительного обсуждения стратегии.

На первый взгляд ситуация выглядит безнадёжной, но существует стратегия, которая даёт узникам шанс на выживание примерно в 30 %. Задача была предложена датским учёным в области информатики Питером Мильтерсеном в 2003 году.

@data_math - делаем упор на практику математики DS. Проверяем ваши знания, а затем на основе ошибок предлагаем статьи и уроки.