еще немного повозимся с тождествами — следующая серия начинается с того, что

(a+b)²/(a-c)(b-c)+(b+c)²/(b-a)(c-a)+(c+a)²/(c-b)(a-b) = 1

дальше

(a+b)⁴/(a-c)(b-c)(a-d)(b-d) + … = 2

а дальше количество слагаемых быстро (квадратично) растет, но по крайней мере первые суммы легко посчитать на компьютере:

def sum2(n):
    m = 2*n-2
    R = PolynomialRing(QQ, 'x', n+1)
    x = R.gens()
    return sum(
        (x[i]+x[j])^m / prod((x[i]-x[k])*(x[j]-x[k]) 
                             for k in range(n+1) if k != i and k != j)
        for j in range(n+1) for i in range(j)
              )

for n in range(2,6+1): print(n,sum2(n))

понятно ли, что за последовательность возникает? можете ли это доказать?

(бонус для любителей геометрии: на самом деле, sum2(2) считает количество прямых через 2 точки на плоскости, sum2(3) — через 4 прямые общего в положения в пространстве… и так далее)

а как эти тождества обобщить (скажем, в прошлой серии тождеств вместо монома в числителе можно было написать любой многочлен подходящей степени)?