1.
сколько коник проходят через 5 фиксированных точек общего положения на плоскости?

с точки зрения перечислительной геометрии в таких задачах полезно думать про пространство всех рассматриваемых объектов и про то, что там высекают условия

в данном случае, коника в P^2 задается 6 коэффициентами ее уравнения, все коники образуют проективное пространство P^5

каждое условие “проходить через точку” — гиперплоскость в этом пространстве

5 гиперплоскостей общего положения в 5-мерном пространстве пересекаются ровно по одной точке

(упражнение к части 1: сколько рациональных кубик проходит через 8 точек общего положения на плоскости?)


2.
продолжим разминку: сколько прямых пересекают 4 фиксированные прямые общего положения в пространстве?

(дальше будут когомологии и характеристические классы, простите… если это пугает, посмотрите вместо этого на Шуховские башни — https://book.etudes.ru/articles/shuhov/ — и поймите ответ на вопрос про прямые без всякий когомологий)

теперь нас интересует пространство PGr(1,3) всевозможных прямых в P^3 (оно же Gr(2,4), пространство 2-мерных линейных подпространств в 4-мерном); каждое условие «пересекаться с данной прямой» задает в этом пространстве гиперповерхность — и мы хотим посчитать число точек пересечения 4 таких гиперповерхностей

в проективном пространстве теорема Безу говорит, что (в хорошей ситуации) достаточно перемножить степени интересующих нас гиперповерхностей

замена этому для более общих пространств — вычисление в кольце когомологий, в данном случае — в кольце H(Gr(2,4))

а классы, которые мы будем там перемножать, — это обычно хар. классы каких-то естественных расслоений, в данном случае — все прямые, пересекающие данную, представляют c_1(E^*), где E тавтологическое расслоение (упражнение для тех, кому понятна формулировка: убедить себя в этом)

в качестве (аддитивного) базиса в H(Gr(n,n+m)) можно взять многочлены Шура, которые нумеруются диаграммами Юнга внутри прямоугольника n×m



то есть в принципе можно пропустить все разговоры про когомологии и т.п. как страшный сон — операционально всё сводится к элементарной алгебре многочленов и/или элементарной комбинаторике диаграмм Юнга

и соответствующие манипуляции вполне можно поручить компьютеру — это дальше и попробуем сделать (на примере сначала этой задачи, а потом подсчета прямых на кубической поверхности… или еще на каком)