знаете ли вы, чему равна сумма
a²/(a-b)(a-c) + b²/(b-c)(b-a) + c²/(c-a)(c-b)?
если никогда этого не делали, то лучше всего перед чтением дальше (или даже вместо него ) взять и упростить выражение
предлагаю поставить реакцию
«ok», если знаете,
«✓», если сделали упражнение
можно дальше менять количество переменных и степень числителя… считать всё руками быстро становится утомительным, но можно воспользоваться компьютером
у sage внутри живет питон и синтаксис функций, циклов и т.п. довольно интуитивный (для знакомых хоть чуть-чуть с питоном) — можно написать, скажем,
def sum1(n,k):
R = PolynomialRing(QQ, 'x', n+1)
x = R.gens()
return sum(
x[i]^k / prod(x[i] - x[j] for j in range(n+1) if j != i)
for i in range(n+1)
)
и дальше смотреть на разные значения, формулировать гипотезы и доказывать их
эти тождества обнаружил Эйлер, у них масса замечательных следствий — так что на этот результат Эйлера ссылаются например Серр и Кнут (ну или например комбинаторная теорема о нулях из этого результата сразу следует) — а развлечение вполне в рамках школьной алгебры
P.S.
на самом деле, этот сюжет связан из предыдущим: например, самое верхнее выражение — это подсчет прямых через две точки плоскости при помощи формулы локализации Атьи-Ботта на P²