с тропической дзета-функцией очень интересно

то есть это типа дзета-функции Игусы, только кусочно-линейная.

определяется для любого выпуклого тела K так:
возьмем все опорные гиперплоскости и с рациональными наклонами и для каждой выберем афинную опорную функцию с примитивным наклоном. теперь возьмем их инфимум.

Это какая-то каноническая выпуклая кусочно-линейная функция F на выпуклом теле.

Теперь определим функцию от комплексного параметра s так

\zeta_K(s) := \int_K F^{n-s}

понятно что когда действительная часть степени больше единицы то интеграл сходится, а дальше надо аналитически продолжать.

причем определение вербатим как у дзета функции Игусы, просто вместа аналитической функции тропически-аналитическая.

Но на этом аналогия в принципе и заканчивается потому что как доказывают Калинин-Луперсио-Школьников в размерности 2 если выпуклое тело это рациональный полигон то у дзета функции всего два полюса, вычет в s=1 дает симплектическую площадь антиканкласса а в s=0 минус его самопересечения у соотвествующего торического многообразия.

Для обычной же Игусы у нас всегда полюса в арифметических прогрессиях которые порождены нулями многочлена Сато-Бернштейна.

Хотелось бы ее как-то аналитически продолжать конечно.