Zenzeli

https://arxiv.org/abs/2609.24790

Joel Hakavuori

We show that a sequence of simplicial polytopes approximating a smooth convex body has primitive Betti numbers diverging from the upper bound given by the g-theorem. This complements a result of Adiprasito-Nevo-Samper, who proved the corresponding divergence from the lower bound. The proof uses a new lower bound for the size of the shadow of a set of monomials.

Кстати обнаружил сейчас забавное элементарное явление.

вот допустим у меня есть любой триангулированный полиэдр в R^3 гомеоморфный сфере
например строго выпуклый политоп со всеми гранями трегульниками
давайте немного его пошевелим чтобы все длины ребер стали общими
а теперь я его разрезаю по треугольникам и посылаю вам в посылке вместо с полной схемой какие стороны каких треугольников как склеивать
сможете ли вы его однозначно склеить? есть ведь теорема Коши-Александрова что по развертке можно восстановить выпуклое тело.
ответ: никогда не сможете! то есть если вы например знаете что она должна быть выпуклая то да по теореме Коши, но на самом деле всегда будет еще хотя бы одна другая конфигурация (невыпуклая).

Увидеть это можно так

на поверхности всегда есть цикл длины 4 (два треугольника с общей стороной)

разрежем нашу сферу на два диска по этому циклу

полигоны длины четыре с фиксированным длинами ребер точностью до движений R3 образуют пространство имени Каповича-Милсона которое изоморфно CP^1=S^2

из пространств изометрических реализаций (с точностью до движений) каждого из получившихся диска есть отображение границы в наше S^2 — мы берем реализацию диска и забываем все кроме границы


ну один диск это склеенные по ребру два треугольника и его образ это погруженная окружность C

упражнение : малым шевелением нашего полиэдра изначального можно добиться что образ второго диска это иммерсированное подмногообразие
причем окружность C пересекается с ним общим образом то есть не в самопересечении и не касается

значит число точек пересечения четное
значит наш изначальный сферический полиэдр склеивается из двух дисков по крайней мере двумя разными способами

забавно что в случае когда род замкнутого полиэдра больше 0
то для общих длин его пространство реализаций состоит из одной точке то есть он глобально жесткий (за редкими случаями триангуляций с трехсвязными скелетами)

https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/hilldale.pdf

Максвелл о холмах и долинах

потрясающе, случайно обнаружил ища самое раннее упоминание слова landscape в математике или физике в значении "качественное описание поведения функционала на большом пространстве модулей"

Максвелл в 1870 году доказывает что число минимумов - число седел + число вершин = 2

ну на языке пиков, впадин, перемычек и перевалов (последние два это седла, это типа не вполне локальное свойство)

доказывается конечно так: представим что наш пейзаж заполняется водой и смотрим как изменяется затопленный регион. две впадины соединяются по перемычке, две горы соединяются когда затапливает перевал и тд.

у него даже на самом деле есть разложение Морса-Смейла типа точки которые стекают в один минимум и который спадают с одного максимума, границы этих областей это специальные траектории между седловыми точками.

https://arxiv.org/abs/2608.25902

Thousands of sangaku tablets, inscribed with colorful geometry problems, were posted in shrines and temples across the Japanese archipelago starting in the Edo period (1603--1868), representing an intersection of artistic, religious, and mathematical traditions. The Sangaku Archive is an attempt to carefully document these objects using the latest digital tools, and to tell an unusual and compelling story about mathematics---one that enriches computations and proofs with historical context and cultural appreciation.

cute

если униформно независимо выбирать два лагранжевых подпространства в F^{2g} где F это поле из q элементов
то эта формула дает вероятность того что они трансверсальны.
и она сходится к положительному числу

с тропической дзета-функцией очень интересно

то есть это типа дзета-функции Игусы, только кусочно-линейная.

определяется для любого выпуклого тела K так:
возьмем все опорные гиперплоскости и с рациональными наклонами и для каждой выберем афинную опорную функцию с примитивным наклоном. теперь возьмем их инфимум.

Это какая-то каноническая выпуклая кусочно-линейная функция F на выпуклом теле.

Теперь определим функцию от комплексного параметра s так

\zeta_K(s) := \int_K F^{n-s}

понятно что когда действительная часть степени больше единицы то интеграл сходится, а дальше надо аналитически продолжать.

причем определение вербатим как у дзета функции Игусы, просто вместа аналитической функции тропически-аналитическая.

Но на этом аналогия в принципе и заканчивается потому что как доказывают Калинин-Луперсио-Школьников в размерности 2 если выпуклое тело это рациональный полигон то у дзета функции всего два полюса, вычет в s=1 дает симплектическую площадь антиканкласса а в s=0 минус его самопересечения у соотвествующего торического многообразия.

Для обычной же Игусы у нас всегда полюса в арифметических прогрессиях которые порождены нулями многочлена Сато-Бернштейна.

Хотелось бы ее как-то аналитически продолжать конечно.

Эгопоиск принес. Недавние тексты, где меня упоминают или благо дарят:

https://kaguprasetya.com/2026/08/07/a-little-update-on-stokers-conjecture/#more-3127

https://arxiv.org/abs/2604.21709
Residues of a tropical zeta function for convex domains

https://arxiv.org/abs/2606.06072
Coherent sheaves on subvarieties in Hopf manifolds

https://arxiv.org/abs/2607.23872
A Partial ε-Regularity Theorem for Integral Stationary Geodesic Networks in Rn

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0926224526000471
Diameter, area, and mean curvature

https://tyy.caltech.edu/

Обожаю страничку Тони Йе Йе [не забудьте включить звук]