Кстати обнаружил сейчас забавное элементарное явление.

вот допустим у меня есть любой триангулированный полиэдр в R^3 гомеоморфный сфере
например строго выпуклый политоп со всеми гранями трегульниками
давайте немного его пошевелим чтобы все длины ребер стали общими
а теперь я его разрезаю по треугольникам и посылаю вам в посылке вместо с полной схемой какие стороны каких треугольников как склеивать
сможете ли вы его однозначно склеить? есть ведь теорема Коши-Александрова что по развертке можно восстановить выпуклое тело.
ответ: никогда не сможете! то есть если вы например знаете что она должна быть выпуклая то да по теореме Коши, но на самом деле всегда будет еще хотя бы одна другая конфигурация (невыпуклая).

Увидеть это можно так

на поверхности всегда есть цикл длины 4 (два треугольника с общей стороной)

разрежем нашу сферу на два диска по этому циклу

полигоны длины четыре с фиксированным длинами ребер точностью до движений R3 образуют пространство имени Каповича-Милсона которое изоморфно CP^1=S^2

из пространств изометрических реализаций (с точностью до движений) каждого из получившихся диска есть отображение границы в наше S^2 — мы берем реализацию диска и забываем все кроме границы


ну один диск это склеенные по ребру два треугольника и его образ это погруженная окружность C

упражнение : малым шевелением нашего полиэдра изначального можно добиться что образ второго диска это иммерсированное подмногообразие
причем окружность C пересекается с ним общим образом то есть не в самопересечении и не касается

значит число точек пересечения четное
значит наш изначальный сферический полиэдр склеивается из двух дисков по крайней мере двумя разными способами

забавно что в случае когда род замкнутого полиэдра больше 0
то для общих длин его пространство реализаций состоит из одной точке то есть он глобально жесткий (за редкими случаями триангуляций с трехсвязными скелетами)