ШизМат. Шиз про вышмат

В этом посте посоветую литературу по математическому анализу, алгебре, аналитической геометрии и дифференциальным уравнениям. Если считаете, что я не упомянул какую-то критически важную литературу, то можете дополнить меня в комментариях.

1) Математический анализ
— В качестве основного учебника я бы рекомендовал брать трёхтомник "Курс дифференциального и интегрального исчисления" Фихтенгольца. В целом в этом учебнике всё описано достаточно человеческим языком, приведено немалое количество практических примеров. Также есть множество контрпримеров, показывающих существенность тех или иных условиях во многих теоремах. Единственным существенным недостатком, на мой взгляд устаревшая терминология (хотя не знаю, как с этим обстоит дело в новейших изданиях).
— В случае, если вы уже хорошо знакомы с математическим анализом и хотите углубить свои знания в данной дисциплине, то вам, безусловно, подойдёт "Математический анализ" Зорича. Здесь подчеркну, что я бы крайне не рекомендовал этот учебник тем, кто сталкивается с математическим анализом впервые в жизни. Данный учебник очень строго, глубоко и системно излагает математический анализ, однако, на мой взгляд, он точно не для новичков.
— В качестве задачника в подавляющем большинстве случаев вам хватит обычного советского "Сборника задач и упражнений по математическому анализу" Демидовича. В случае, если хочется ещё больше сложных задач, то можете взять трёхтомный "Сборник задач по математическому анализу" Кудрявцева.

2) Линейная алгебра и элементы общей алгебры
— На мой взгляд, оптимальным учебником является "Курс алгебры" Винберга. Это образец ясности и стройности изложения. Весь классический университетский курс изложен лаконично, но без потери глубины. Книга не акцентируется на душных вычислениях, а учит алгебраическому мышлению, связывая алгебру с геометрией.
— В противовес я бы не рекомендовал "Введение в алгебру" Кострикина. На мой взгляд, он является излишне перегруженным и технически тяжёлым. Мне кажется, что прийти к современному взгляду на алгебру крайне тяжело, используя учебник Кострикина.
— Но в качестве задачника по линейной алгебре как раз можно взять "Сборник задач по алгебре" Кострикина, он содержит достаточно полный и объёмный перечень задач по всем основным темам.

3) Аналитическая геометрия
— Для начала в качестве учебника рекомендую первые четыре главы "Курса аналитической геометрии и линейной алгебры" Беклемишева. Вся необходимая база изложена в достаточном объёме.
— Если хочется наиболее полно и системно подойти к аналитической геометрии, то лучше всего подойдет "Аналитическая геометрия" Постникова.
— В качестве задачника можно взять "Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре" Беклемишева.

4) Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
— В качестве учебника для освоения базовой программы курса ОДУ можно взять "Курс дифференциальных уравнений" Степанова.
— Если вы уже знакомы с дифференциальными уравнениями и хотите взглянуть на них гораздо более идейно и геометрично, то крайне рекомендую "Обыкновенные дифференциальные уравнения" Арнольда.
— И пока что не придумали лучше задачника, чем "Сборник задач по дифференциальным уравнениям" Филиппова.

Сегодня хочется поделиться с вами хорошей статьей про трюк Фейнмана для вычисления интегралов:

https://zackyzz.github.io/feynman

Такого количества разобранных примеров в одном материале по этой теме я ранее не видел.

На данный момент постепенно готовлю ролик про дзета-функцию Римана.

Прикола ради могу поделиться тем, что существует дзета-функция Эпштейна

Ставь лайк, если готов освоить школьную программу по Вербицкому к аспирантуре

"У нас нет учебных заведений, где мою программу обучения можно было бы использовать; но смысл в ней тем не менее есть. Смысл ее - в установлении приоритетов и ориентиров. Конечно, нет у нас студентов, которые в школе учат теорию Галуа и гомотопическую топологию, а на втором курсе постигли классифицирующие пространства и характеристические классы. Не то чтобы их не может быть в принципе - во времена семинаров Гельфанда и Манина такие студенты были - но факт состоит в том, что сейчас их нет; и не будет никогда, если интеллектуальный климат останется таким, как сейчас, и если мы не приложим усилий к его изменению. Программа, мною выше приведенная - есть не данность, а идеал, к которому необходимо стремиться.

Студенту, если он хочет чему-нибудь выучиться, полезно время от времени поглядывать на описанный куррикулум; и сообразовать свое обучение с этой программой. Иначе кердык."

Математическое образование в России

"Математического образования в России нет.

Я уже 6 лет читаю учебные курсы и лекции в Независимом Университете; общая польза, принесенная этими курсами кому бы то ни было, практически нулевая; по крайней мере студентам-математикам пользы не было никакой. Я буду заниматься этим и дальше, но занятие это очевидно бессмысленное.

Мои скромные педагогические способности тут не при чем; будь я даже и Оскаром Зариски напополам с профессором Яу, у меня ничего не вышло бы. За эти 6 лет я не видел в Москве ни одного студента, который доучился бы до состояния, позволяющего вести научную работу (я видел довольно много хороших молодых ученых - Стефан Немировский, например - но учились они где-то в другом месте; я не знаю где, но точно не у нас). Единственная функция Независимого Университета - поставлять кадры для американских аспирантур; но и с ней он справляется, в последнее время, крайне плохо, поскольку интеллектуальный фонд истощился до полного опустошения и кердыка.

Исторически, в России имели место две параллельные образовательные системы; одна из них - университетская - за 5 лет худо-бедно давала знания, которые следует иметь студенту первого года обучения; она дополняла этот материал абсолютно бессмысленным концептуальным и вычислительным баластом и просто откровенным бредом (учебник Камынина помните?) Даже те знания, которые давались университетской программой, давались ей в виде мало-осмысленных вычислительных рецептов, и в результате понимание студентом сути вещей только затруднялось. Университетская программа выпускала не математика, а калеку, который математикой не мог заниматься уже никогда; если кто-то в результате и становился математикой, то только вопреки тому, чему его учили, а не благодаря этому.

Вторая программа была альтернативой, созданной Гельфандом, Маниным и иже с ними вокруг матшкол, Керосинки и семинаров Гельфанда и Манина; студент, попавший в эту структуру, к 3-4 курсу усваивал материал, соответствующий второму-третьему обучения математике (в смысле выше приводимой программы). Потом он оказывался в состоянии, которое Гельфанд охарактеризовал как бег за трамваем в попытках вскочить на его подножку; ни владения текущей литературой, ни возможности в ней ориентироваться программа Гельфанда и Манина не давала (да и библиотек, доступных студенту Керосинки, не было). Курсов, соответствовавших текущему состоянию науки, на мех-мате не читалось, кроме Манина, который избирал одну определенную область и год-два ею занимался; выпуская каждый раз 3-5 студентов, которые с тех пор и до самой смерти занимаются именно этим.

Гельфанд учил, что, чтобы таки допрыгнуть до трамвая, надо ходить на семинары, заведомо непонятные, и самостоятельно пытаться разобраться в том, что там происходит. Именно таким образом люди (кому повезет) осваивали материалы года обучения с третьего по пятый мною обозначенной программы (материал пятого года, конечно, тогда не весь существовал; вместо него были модули Верма и ББГ-резольвента, сейчас, видимо, неактуальные).

В последние 10 лет ситуация отчасти параллельна мною описанной. Имеются две конкурирующие программы: университетская (которая с 1980-х не изменилась, а только сократилась немного - скажем, спектральные последовательности в ней были, а сейчас их нет), и альтернативная, которой занимаются в Независимом Университете и в ИТЭФе.

Но есть существенная разница - люди, которые понимают о чем идет речь в математической литературе (типа, в http://arxiv.org) в основном уехали; в результате, охват альтернативной системы сократился с середины третьего года обучения по Гельфанду и Манину до середины второго. При этом никаких ориентиров в плане дальнейшего самообразования студент не получает. Колоссальный барьер между обучением на студенческих семинарах и чтением научной литературы, который требовалось преодолевать самообразованием, увеличился с 2 лет до 4 и стал непреодолим. Вместо пропасти, второй край которой отчасти просматривается, мы имеем черную дыру, которая поглощает каждого, кто к ней приблизится."

Почему эта программа такая, а не другая?

"Мне не кажется, что все области математики одинаково ценные; я уверен, что самоценности математика сама по себе не имеет. Иначе математика оказывается своего рода сложной интеллектуальной игрой, и мы оказываемся в области, обозначенной Германом Гессе ("Игра в бисер"), где никаких критериев нет вообще - кроме оценки профессионального сообщества. А профессиональное сообщество, что и скрывать, одновременно и коррумпировано, и разобщено. Профессиональное сообщество математиков не имеет единого критерия, а если бы и имело его, это было бы только хуже, наверное, потому что он был бы основан на невнятных властных играх по принципу ты почеши мне, а я почешу тебе, а ля академия наук.

Тем не менее, какие-то области математики претерпевают вполне очевидный расцвет. Ю.И.Манин заметил в конце 1980-х, что 1960-е было 10-летием расцвета для алгебраической топологии, 1970-е - для алгебраической геометрии, 1980-е - для математической физики. В этом смысле, 1980-е длятся до сих пор. Математические идеи, связанные с 1990-ми (зеркальная гипотеза, инварианты Громова-Уиттена, инварианты Зайберга-Уиттена, квантовые когомологии) все происходят из струнной геометрии.

Я думаю, что это не случайно. Математика утеряла общие критерии, потеряв общий контекст; в настоящий момент, гораздо меньше людей понимают, что происходит в науке в целом, чем 20 лет назад, и еще меньше, чем 40 лет назад. В условиях потери абстрактных критериев, единственно эффективным критерием становится утилитарный. Математика лишь постольку интересна, поскольку она связана со струнной теорией; это базовое предположение, которое я не хочу сейчас обсуждать. Релевантность для физики это единственный критерий, который у нас остался; а почти вся математика, относящаяся к физике, относится к струнной геометрии. Этот тезис хорошо подтверждается наблюдением, приведенным выше: (почти) все интересные идеи последних 20 лет связаны с физикой струн.

Желающие следить за математикой (в том смысле, в котором это слово понимается выше) приглашаются на сервер http://arxiv.org, где почти все интересные работы по математикe выкладываются сразу после их написания.

Выше приведенная математическая программа нужна именно для этого. Конечно, не все работы в http://arxiv.org будут немедленно понятны, даже и студенту, сдавшему все экзамены; но объяснить ему, в чем дело, можно будет за полчаса.

Можно, конечно, заниматься математикой и не понимая общего контекста, в котором она существует; но подобные занятия, на мой взгляд, еще больше разрушают общий контекст, тем самым усугубляя размывание критериев, невежество и коррупцию, которые и без того доминируют. Неграмотные занятия профессиональной математикой приносят больше вреда, чем пользы; всех статей все равно никто не прочтет, а большинство статей вообще никто не читает. Написание еще одной бессмысленной статьи затрудняет доступ к статьям осмысленным; в этом смысле, математика 20-30 лет назад была гораздо более внятной и осмысленной наукой, чем сейчас. Наступит такой момент, когда "прогресс" в математике просто остановится, и каждая новая статья будет повторять результаты, уже доказанные кем-то в одной из непрочтенных и забытых статей. Во многих областях науки, такая ситуация имеет место уже сейчас."

Пятый курс
— Теория Кодаиры-Спенсера. Деформации многообразия и решения уравнения Маурера-Картана. Разрешимость Маурера-Картана и операции Масси на DG-алгебре Ли когомологий векторных полей. Пространства модулей и их конечномерность (см. лекции Концевича, либо собрание сочинений Кодаиры). Теорема Богомолова-Тиана-Тодорова о деформациях Калаби-Яу.
— Симплектическая редукция. Отображение моментов. Теорема Кемпфа-Несс.
— Деформации когерентных пучков и расслоений в алгебраической геометрии. Геометрическая теория инвариантов. Пространство модулей расслоений на кривой. Стабильность. Компактификации Уленбек, Гизекера и Маруямы. Геометрическая теория инвариантов это симплектическая редукция (третье издание Геометрической Теории Инвариантов Мамфорда, приложения Фрэнсис Кирван).
— Инстантоны в четырехмерной геометрии. Теория Дональдсона. Инварианты Дональдсона. Инстантоны на кэлеровых поверхностях.
— Геометрия комплексных поверхностей. Классификация Кодаиры, кэлеровы и некэлеровы поверхности, схема Гильбертя точек на поверхности. Критерий Кастельнуово-Энриквеса, формула Римана-Роха, неравенство Богомолова-Мияока-Яу. Соотношения между численными инвариантами поверхности. Эллиптические поверхности, поверхность Куммера, поверхности типа K3 и Энриквеса.
— Элементы программы Мори: теорема Каваматы-Фивега об обращении в ноль, теоремы о свободе от базисных точек, теорема Мори о конусе (Клеменс-Коллар-Мори, "Многомерная комплексная геометрия", плюс не переведенные Коллар-Мори и Кавамата-Матсуки-Масуда).
— Стабильные расслоения как инстантоны. Уравнение Янг-Миллса на кэлеровом многообразии. Теорема Дональдсона-Уленбек-Яу о метриках Янг-Миллса на стабильном расслоении. Ее интерпретация в терминах симплектической редукции. Стабильные расслоения и инстантоны на гиперкэлеровых многообразиях; явное решение уравнения Маурера-Картана в терминах оператора Грина.
— Псевдоголоморфные кривые на симплектическом многообразии. Инварианты Громова-Уиттена. Квантовые когомологии. Зеркальная гипотеза и ее интерпретации. Структура группы симплектоморфизмов (по статье Концевича-Манина, книжке Полтеровича "Симплектическая геометрия", зеленой книжке о псевдоголоморфных кривых и запискам лекций МакДафф и Саламона).— Комплексные спиноры, уравнение Зайберга-Уиттена, инварианты Зайберга-Уиттена. Почему инварианты Зайберга-Уиттена равны инвариантам Громова-Уиттена.
— Гиперкэлерова редукция. Плоские расслоения и уравнение Янг-Миллса. Гиперкэлерова структура на пространстве модулей плоских расслоений (Хитчин-Симпсон).
— Смешанные структуры Ходжа. Смешанные структуры Ходжа на когомологиях алгебраического многообразия. Смешанные структуры Ходжа на мальцевском пополнении фундаментальной группы. Вариации смешанных структур Ходжа. Теорема о нильпотентной орбите. Теорема об $SL(2)$-орбите. Близкие и исчезающие циклы. Точная последовательность Клеменса-Шмида (по красной книжке Гриффитса "Transcendental methods in algebraic geometry").
— Неабелева теория Ходжа. Вариации структур Ходжа как неподвижные точки $C^*$-действия на пространстве модулей расслоений Хиггса (диссертация Симпсона).
— Гипотезы Вейля и их доказательство. L-адические пучки, превратные пучки, автоморфизм Фробениуса, его веса, теорема о чистоте (Beilinson, Bernstein, Deligne, плюс Делинь, Гипотезы Вейля II).
— Количественная алгебраическая топология Громова, (по книжке Громова "Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces"). Метрика Громова-Хаусдорфа, прекомпактность множества метрических пространств, гиперболические многообразия и гиперболические группы, гармонические отображения в гиперболические пространства, доказательство теоремы Мостова о жесткости (два компактные кэлеровы многообразия, накрываемые одним и тем же симметрическим пространством X отрицательной кривизны, изометричны, если их фундаментальные группы изоморфны, а dim X > 1).
— Многообразия общего типа, метрики Кобаяши и Бергмана, аналитическая жесткость (Сиу).

Четвертый курс
— Рациональный и проконечный гомотопический тип Нерв этального покрытия клеточного пространства гомотопически эквивалентен его проконечному типу. Топологическое определение этальных когомологий. Действие группы Галуа на проконечном гомотопическом типе (Сулливан, "Геометрическая топология").
— Этальные когомологии в алгебраической геометрии, функтор сравнения, гензелевы кольца, геометрические точки. Замена базы. Любое гладкое многообразие над полем локально в этальной топологии изоморфно $A^n$. Этальная фундаментальная группа (Милн, обзор Данилова из ВИНИТИ и SGA 4 1/2, первая статья Делиня).
— Эллиптические кривые, j-инвариант, автоморфные формы, гипотеза Таниямы-Вейля и ее приложения к теории чисел (теорема Ферма).
— Рациональные гомотопии (по последней главе книжки Гельфанда-Манина либо статье Гриффитса-Моргана-Длиня-Сулливана). Операции Масси и рациональный гомотопический тип. Зануление операций Масси на кэлеровом многообразии.
— Группы Шевалле, их образующие и соотношения (по книжке Стейнберга). Вычисление группы K_2 от поля (Милнор, Алгебраическая К-Теория).
— Алгебраическая К-теория Квиллена, $BGL^+$ и $Q$-конструкция (обзор Суслина в 25-м томе ВИНИТИ, лекции Квиллена - Lecture Notes in Math. 341).
— Комплексные аналитические многообразия, когерентные пучки, теорема Ока о когерентности, теорема Гильберта о нулях для идеалов в пучке голоморфных функций. Нетеровость кольца ростков голоморфных функций, теорема Вейерштрасса о делении, подготовительная теорема Вейерштрасса. Теорема о разветвленном накрытии. Теорема Грауэрта-Реммерта (образ компактного аналитического пространства при голоморфном морфизме аналитичен). Теорема Хартогса о продолжении аналитической функции. Многомерная формула Коши и ее приложения (равномерный предел голоморфных функций голоморфен).

Третий курс
— К-теория как когомологический функтор, периодичность Ботта, алгебры Клиффорда. Спиноры (книжка Атьи "К-Теория" либо А.С.Мищенко "Векторые расслоения и их применение"). Спектры. Пространства Эйленберга-Маклейна. Бесконечнократные пространства петель (по книжке Свитцера либо желтой книжке Адамса либо Адамса "Lectures on generalized cohmology", 1972).
— Дифференциальные операторы, псевдодифференциальные операторы, символ, эллиптические операторы. Свойства оператора Лапласа. Самосопряженные операторы с дискретным спектром. Оператор Грина и приложения к теории Ходжа на римановых многообразиях. Квантовая механика. (книжка Р.Уэллса по анализу либо Мищенко "Векторые расслоения и их применение").
— Формула индекса (Атья-Ботт-Патоди, Мищенко), формула Римана-Роха. Дзета-функция оператора с дискретным спектром и ее асимптотики.
— Гомологическая алгебра (Гельфанд-Манин, все главы проме последней). Когомологии пучков, производные категории, триангулированные категории, производный функтор, спектральная последовательность бикомплекса. Композиция триангулированных функторов и соответствующая спектральная последовательность. Двойственность Вердье. Формализм шести функторов и превратные пучки.
— Схемная алгебраическая геометрия, схемы над кольцом, проективные спектры, производные функции, двойственность Серра, когерентные пучки, замена базы. Собственные и отделимые схемы, валюативный критерий собственности и отделимости (Хартсхорн). Функторы, представимость, пространства модулей. Прямые и обратные образы пучков, высшие прямые образы. При собственном отображении высшие прямые образы когерентны.
— Когомологические методы в алгебраической геометрии, полунепрерывность когомологий, теорема Зариского о связности, теорема Штейна о разложении.
— Кэлеровы многообразия, теорема Лефшеца, теория Ходжа, соотношения Кодаиры, свойства оператора Лапласа (нулевая глава главы Гриффитса-Харриса, понятно изложена в книжке Андре Вейля "Кэлеровы многообразия"). Эрмитовы расслоения. Линейные расслоения и их кривизна. Линейные расслоения с положительной кривизной. Теорема Кодаиры-Накано о занулении когомологий (Гриффитс-Харрис).
— Голономии, теорема Амброза-Зингера, специальные голономии, классификация голономий, многообразия Калаби-Яу, гиперкэлеровы, теорема Калаби-Яу.
— Спиноры на многообразии, оператор Дирака, кривизна Риччи, формула Вейценбека-Лихнеровича, теорема Бохнера. Теорема Богомолова о разложении многообразий с нулевым каноническим классом (Артур Бессе, "Эйнштейновы многообразия").
— Когомологии Тэйта и теория полей классов (Касселс-Фрелих, синяя книжка). Вычисление фактора группы Галуа числового поля по коммутанту. Группа Брауэра и ее приложения.
— Эргодическая теория. Эргодичность бильярдов.
— Комплексные кривые, псевдоконформные отображения, пространства Тейхмюллера, теория Альфорса-Берса (по книжке Альфорса тоненькой).

Второй курс
— Алгебраическая топология (Фукс-Фоменко). Когомологии (симплициальные, сингулярные, де Рама), их эквивалентность, двойственность Пуанкаре, гомотопические группы. Размерность. Расслоения (в смысле Серра), спектральные последовательности (Мищенко, "Векторные расслоения..."). Вычисление когомологий классических групп Ли и проективного пространства.
— Векторные расслоения, связность, формула Гаусса-Бонне, классы Эйлера, Черна, Понтрягина, Штифеля-Уитни. Мультипликативность характера Черна. Классифицирующие пространства ("Характеристические Классы", Милнор и Сташеф).
— Дифференциальная геометрия. Связность Леви-Чивита, кривизна, алгебраическое и дифференциальное тождество Бьянки. Поля Киллинга. Кривизна Гаусса двумерного риманова многообразия. Клеточное разбиение пространства петель в терминах геодезических. Теория Морса на пространстве петель (по книге Милнора "Теория Морса" и Артура Бессе "Эйнштейновы Многообразия"). Главные расслоения и связности в них.
— Коммутативная алгебра (Атья-Макдональд). Нетеровы кольца, размерность Крулля, лемма Накаямы, адическое пополнение, целозамкнутость, кольца дискретного нормирования. Плоские модули, локальный критерий плоскости.
— Начала алгебраической геометрии. (первая глава Хартсхорна либо Шафаревич либо зеленый Мамфорд). Афинное многообразие, проективное многообразие, проективный морфизм, образ проективного многообразия проективен (через результанты). Пучки. Топология Зариского. Алгебраическое многообразие как окольцованное пространство. Теорема Гильберта о нулях. Спектр кольца.
— Начала гомологической алгебры. Группы Ext, Tor для модулей над кольцом, резольвенты, проективные и инъективные модули (Атья-Макдональд). Построение инъективных модулей. Двойственность Гротендика (по книжке Springer Lecture Notes in Math, Grothendieck Duality, номера примерно 21 и 40).
— Теория чисел; локальные и глобальные поля, дискриминант, норма, группа классов идеалов (синяя книжка Касселса и Фрелиха).
— Редуктивные группы, системы корней, представления полупростых групп, веса, форма Киллинга. Группы, порожденные отражениями, их классификация. Когомологии алгебр Ли. Вычисление когомологий в терминах инвариантных форм. Сингулярные когомологии компактной группы Ли и когомологии ее алгебры. Инварианты классических групп Ли. (желтый Серр, вторая половина; Герман Вейль, "Инварианты классических групп"). Конструкции специальных групп Ли. Алгебры Хопфа. Квантовые группы (определение).

Математическая программа должна быть устроена так

Школьная программа (экзамен Матшкольник)
— Евклидова геометрия, комплексные числа, скалярное умножение, неравенство Коши-Буняковского. Начала квантовой механики (Кострикин-Манин). Группы преобразований плоскости и пространства. Вывод тригонометрических тождеств. Геометрия на верхней полуплоскости (Лобачевского). Свойства инверсии. Действие дробно-линейных преобразований.
— Кольца, поля. Линейная алгебра, конечные группы, теория Галуа. Доказательство теоремы Абеля. Базис, ранг, определители, классические группы Ли. Сечения Дедекинда. Определение поля вещественных чисел. Определение тензорного произведения векторных пространств.
— Теория множеств. Лемма Цорна. Вполне упорядоченные множества. Базис Коши-Гамеля. Теорема Кантора-Бернштейна. Несчетность множества вещественных чисел.
— Метрические пространства. Теоретико-множественная топология (определение непрерывных отображений, компактность, собственные отображения). Счетная база. Определение компактности в терминах сходящихся последовательностей для пространств со счетной базой. Гомотопии, фундаментальная группа, гомотопическая эквивалентность.
— p-адические числа, теорема Островского, умножение и деление p-адических чисел в столбик
— Дифференцирование, интегрирование, формула Ньютона-Лейбница. Дельта-эпсилон формализм, лемма о милиционере.

Первый курс
— Анализ на $R^n$. Дифференциал отображения. лемма о сжимающем отображении. Теорема о неявной функции. Интеграл Римана и Лебега. ("Анализ" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича, "Задачи и теоремы из функ. анализа" Кириллова-Гвишиани)
— Гильбертовы пространства, банаховы пространства (определение). Существование базиса в гильбертовом пространстве. Непрерывные и разрывные линейные операторы. Критерии непрерывности. Примеры компактных операторов. ("Анализ" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича, "Задачи и теоремы из функ. анализа" Кириллова-Гвишиани)
— Гладкие многообразия, субмерсии, иммерсии, теорема Сарда. Разбиение единицы. Дифференциальная топология (Милнор-Уоллес). Трансверсальность. Степень отображения как топологический инвариант.
— Дифференциальные формы, оператор де Рама, теорема Стокса, уравнение Максвелла электромагнитного поля. Теорема Гаусса-Остроградского как частный пример.
— Комплексный анализ одного переменного (по книге Анри Картана либо первому тому Шабата). Контурные интегралы, формула Коши, теорема Римана об отображениях из любого односвязного подмножества $C$ в круг, теорема о продолжении границ, теорема Пикара о достижении целой функцией всех значений, кроме трех. Многолистные функции (на примере логарифма).
— Теория категорий, определение, функторы, эквивалентности, сопряженные функторы (Маклэйн, Categories for working mathematician, Гельфанд-Манин, первая глава).
— Группы и алгебры Ли. Группы Ли. Алгебры Ли как их линеаризации. Универсальная обертывающая алгебра, теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта. Свободные алгебры Ли. Ряд Кэмпбелла-Хаусдорфа и построение группы Ли по ее алгебре (желтый Серр, первая половина).

Захотелось познакомить вас с известной в узких кругах программой обучения российского математика Вербицкого. Но для начала скажем о том, кто это вообще такой.

В настоящее время Михаил Вербицкий внесён Росфинмониторингом в список террористов и экстремистов, что является официальной правовой позицией российских властей. Однако, прежде всего, он известен как математик с мировым именем. Его научные интересы лежат в области сложных разделов математики, которые пытаются описать фундаментальные законы вселенной, включая теорию струн — одну из современных физических моделей. Вербицкий получил признание среди специалистов за глубокие и новаторские исследования, связывающие абстрактную математику с физикой. Он работал профессором в Независимом Московском университете и сотрудничал с престижными научными центрами за рубежом. Его труды, написанные в соавторстве с другими учёными, считаются очень важными для развития современной геометрии. Вербицкий также известен как яркий и эрудированный человек, активно высказывающийся на самые разные темы в интернете, от науки до культуры. Его личность и публичная позиция часто вызывали споры и дискуссии.

Сегодня нарезал хлеб для бутербродов с икрой, и мне нужно было разрезать куски хлеба напополам, так как батон сам по себе слишком большой был. В связи с этим я придумал небольшую задачу на тему непрерывности.

Пусть границей плоской выпуклой области D является гладкая замкнутая кривая без самопересечений. Всегда ли на плоскости можно провести прямую, делящую область D на две равновеликие (с равными площадями) части?

В математике мы определяем такие объекты, как отображения. Но мы же не знаем, каким образом отображение сопоставляет один элемент одного множества другому элементу другого множества. Таким образом, сам способ сопоставления является чёрным ящиком. Мы говорим, что два отображения совпадают, если у них совпадают области определения, области значений и закон сопоставления. Но пусть есть два отображения, формально удовлетворяющих этому определению. Мы никак не можем гарантировать, что содержимое их чёрных ящиков совпадает. Выходит, я могу утверждать о равенстве, ссылаясь лишь на внешние характеристики, в то время как внутренний принцип работы остаётся непостижимым?

Этот вопрос упирается в основы философии математики. Классическая математика, построенная на теории множеств, работает с экстенсионалом: функция есть её график, то самое множество пар «аргумент-значение». В этой парадигме никакого «чёрного ящика» просто не существует — есть только внешний результат. Равенство функций — это равенство их графиков, и ничего более.

Но что, если мы хотим заглянуть внутрь? Тогда мы сталкиваемся с интенсионалом — тем самым правилом, алгоритмом, формулой, которая и является механизмом чёрного ящика. С этой точки зрения, две разные формулы, вычисляющие одно и то же множество пар, могут считаться разными объектами, потому что их внутреннее устройство, их «смысл» — различен.

Это противоречие разделяет целые философские школы. Для платониста функция — это идеальный объект, чья сущность исчерпывается её экстенсионалом. Для конструктивиста же первичен именно интенсионал — алгоритм, и функция не существует, если она не может быть явно построена. А с точки зрения философии языка, наша проблема — это проблема смысла и значения: мы можем указывать на один и тот же объект (значение) разными путями (смыслами).

Таким образом, вопрос о существовании и важности механизма «чёрного ящика» — это не техническое недоразумение, а глубокий метафизический выбор. Мы можем изучать мир идеальных, готовых математических сущностей, где важны лишь итоговые состояния. А можем изучать процессы, алгоритмы и смыслы, где внутреннее устройство является неотъемлемой частью объекта? Классическая математика выбирает первый путь. Но наше смутное ощущение, что за формальным равенством скрывается какая-то тайна, указывает на то, что второй путь (изучения внутренних механизмов) столь же необходим.

Открывая строгие страницы учебника или научной статьи по математике, мы видим идеальную картину: определения, леммы, теоремы и доказательства выстроены в безупречную логическую цепь. Каждое утверждение следует из предыдущего, не оставляя места для сомнений. Однако эта впечатляющая структура не имеет почти ничего общего с тем, как в действительности рождаются математические идеи в голове человека.

Настоящий процесс обдумывания задачи больше похож на случайные блуждание, чем на движение по прямой. Сначала возникают смутные идеи и ассоциации. Математик не начинает с формального определения. Он рассматривает частные случаи, рисует картинки, строит аналогии, часто из совсем других областей.

Прежде чем доказывать общее утверждение, мы всегда проверяем его на простейших примерах. Потом мы ищем контрпример. В рамках этого процесса проб и ошибок может родиться гипотеза, которая в конечном итоге окажется верной. Но в реальном исследовании (даже если вы познаете то, что известно многим, но не лично вам) вы с крайне малой вероятностью с первой попытки сможете сформулировать верную гипотезу.

Реальное мышление состоит из десятков ошибочных предположений и тупиковых ветвей. Можно потратить много времени, пытаясь доказать что-то неверное, и только осознание тупика заставляет сменить парадигму и пытаться искать решение в другой плоскости. В учебнике же доказательство полностью вычищено; почти никогда не даются упоминания о том, почему другие подходы не работают.

Часто мы интуитивно чувствуем или просто хотим, чтобы утверждение было верным. И тогда бывает полезно начать рассуждать с конца: что должно быть истинно, чтобы наша предположение оказалось верным? Этот «обратный ход» мысли — мощный инструмент, который в чистовом варианте доказательства тщательно «переупаковывается» в последовательность рассуждений с «прямым ходом».

К сожалению или к счастью, такие «недомолвки» являются не злым умыслом, а следствием по крайней мере двух важных принципов:

1) Принцип экономии и ясности. Окончательный текст подобен итоговому отчету. Его цель — максимально убедительно, экономно и недвусмысленно передать суть. Читателю (и особенно студенту) не нужно блуждать по всем тем лабиринтам, через которые прошел автор. Ему нужно увидеть кратчайший и самый надежный (но, вероятно, не самый полный) путь к пониманию.

2) Принцип ригоризма. Математика требует абсолютной строгости. Окончательный текст скрывает все «человеческое» — сомнения, интуицию, ошибки — чтобы представить только безупречную аргументацию.

На мой взгляд, понимание этого разрыва между процессом и результатом — ключ к более глубокому пониманию математики. «Настоящий» процесс занятия математикой на самом деле во многом творческий и беспорядочный.

Здесь в одном архиве собрал все сборники вузовских олимпиадных задач, по которым сам когда-то готовился. Всё это можно найти в Интернете в свободном доступе, но в виде одного архива вряд ли где-то ещё встретите.

И так же про вот такой постик напоминаю

На моем личном канале совсем скоро выйдет видео, посвященное студенческим олимпиадам по математике. В этом архиве выкладываю все варианты олимпиад "Я — Профессионал" и "Высшая Лига" последних лет с решениями. В целом это можно найти и в открытом доступе, но считайте, что за вас провел работу по систематизации информации.

CАВВАТЕЕВ, ЭБОНИТ, ПОСТУПАШКИ И SHIZ ПРОТИВ ЛАБУБУ?

Позвал легенд ютуба, чтобы разобраться с вступительными в ВЫШКУ
Разделили на пятерых математический анализ, комбинаторику, физику, информатику и тервер.

Поддержите, пожалуйста, видеоролик лайком и комментарием, в сегодняшних реалиях очень нужна поддержка на старте видоса)

Наслаждаемся 😉
https://youtu.be/PStmJu9ManQ
https://youtu.be/PStmJu9ManQ
https://youtu.be/PStmJu9ManQ