Пятый курс
— Теория Кодаиры-Спенсера. Деформации многообразия и решения уравнения Маурера-Картана. Разрешимость Маурера-Картана и операции Масси на DG-алгебре Ли когомологий векторных полей. Пространства модулей и их конечномерность (см. лекции Концевича, либо собрание сочинений Кодаиры). Теорема Богомолова-Тиана-Тодорова о деформациях Калаби-Яу.
— Симплектическая редукция. Отображение моментов. Теорема Кемпфа-Несс.
— Деформации когерентных пучков и расслоений в алгебраической геометрии. Геометрическая теория инвариантов. Пространство модулей расслоений на кривой. Стабильность. Компактификации Уленбек, Гизекера и Маруямы. Геометрическая теория инвариантов это симплектическая редукция (третье издание Геометрической Теории Инвариантов Мамфорда, приложения Фрэнсис Кирван).
— Инстантоны в четырехмерной геометрии. Теория Дональдсона. Инварианты Дональдсона. Инстантоны на кэлеровых поверхностях.
— Геометрия комплексных поверхностей. Классификация Кодаиры, кэлеровы и некэлеровы поверхности, схема Гильбертя точек на поверхности. Критерий Кастельнуово-Энриквеса, формула Римана-Роха, неравенство Богомолова-Мияока-Яу. Соотношения между численными инвариантами поверхности. Эллиптические поверхности, поверхность Куммера, поверхности типа K3 и Энриквеса.
— Элементы программы Мори: теорема Каваматы-Фивега об обращении в ноль, теоремы о свободе от базисных точек, теорема Мори о конусе (Клеменс-Коллар-Мори, "Многомерная комплексная геометрия", плюс не переведенные Коллар-Мори и Кавамата-Матсуки-Масуда).
— Стабильные расслоения как инстантоны. Уравнение Янг-Миллса на кэлеровом многообразии. Теорема Дональдсона-Уленбек-Яу о метриках Янг-Миллса на стабильном расслоении. Ее интерпретация в терминах симплектической редукции. Стабильные расслоения и инстантоны на гиперкэлеровых многообразиях; явное решение уравнения Маурера-Картана в терминах оператора Грина.
— Псевдоголоморфные кривые на симплектическом многообразии. Инварианты Громова-Уиттена. Квантовые когомологии. Зеркальная гипотеза и ее интерпретации. Структура группы симплектоморфизмов (по статье Концевича-Манина, книжке Полтеровича "Симплектическая геометрия", зеленой книжке о псевдоголоморфных кривых и запискам лекций МакДафф и Саламона).— Комплексные спиноры, уравнение Зайберга-Уиттена, инварианты Зайберга-Уиттена. Почему инварианты Зайберга-Уиттена равны инвариантам Громова-Уиттена.
— Гиперкэлерова редукция. Плоские расслоения и уравнение Янг-Миллса. Гиперкэлерова структура на пространстве модулей плоских расслоений (Хитчин-Симпсон).
— Смешанные структуры Ходжа. Смешанные структуры Ходжа на когомологиях алгебраического многообразия. Смешанные структуры Ходжа на мальцевском пополнении фундаментальной группы. Вариации смешанных структур Ходжа. Теорема о нильпотентной орбите. Теорема об $SL(2)$-орбите. Близкие и исчезающие циклы. Точная последовательность Клеменса-Шмида (по красной книжке Гриффитса "Transcendental methods in algebraic geometry").
— Неабелева теория Ходжа. Вариации структур Ходжа как неподвижные точки $C^*$-действия на пространстве модулей расслоений Хиггса (диссертация Симпсона).
— Гипотезы Вейля и их доказательство. L-адические пучки, превратные пучки, автоморфизм Фробениуса, его веса, теорема о чистоте (Beilinson, Bernstein, Deligne, плюс Делинь, Гипотезы Вейля II).
— Количественная алгебраическая топология Громова, (по книжке Громова "Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces"). Метрика Громова-Хаусдорфа, прекомпактность множества метрических пространств, гиперболические многообразия и гиперболические группы, гармонические отображения в гиперболические пространства, доказательство теоремы Мостова о жесткости (два компактные кэлеровы многообразия, накрываемые одним и тем же симметрическим пространством X отрицательной кривизны, изометричны, если их фундаментальные группы изоморфны, а dim X > 1).
— Многообразия общего типа, метрики Кобаяши и Бергмана, аналитическая жесткость (Сиу).