Ricci Flows

Бурбакизм и пр.

Спасибо за наводку Илье. (@ilya_s_alekseev)

Ref (нужен vpn): https://lj.rossia.org/~dmitri_pavlov/9543.html?nc=198
_________________

> Теория меры должна формулироваться и излагаться на языке коммутативных алгебр фон Неймана без упоминания сигма-алгебр.
Частное: L^p-пространства должны формулироваться и излагаться
на языке модулярных алгебр Ямагами.

> Линейная алгебра должна формулироваться и излагаться на языке симметричных моноидальных абелевых категорий без упоминания
координат и базисов и с полноценным использованием суперсимметрии,
позволяющей отождествить понятия внешней и симметрической алгебры,
а также алгебр Клиффорда и Вейля.

> Гладкие многообразия должны формулироваться и излагаться на языке вещественных алгебр без упоминания координат, карт и атласов.
Возможно также использование языка пучков, хотя он и необязателен ввиду аффинности гладких многообразий.
Изложение должно вестись с полноценным использованием суперсимметрии, в частности должно даваться концептуальное изложение
дифференциальных форм как функций на многообразии суперточек, вместе с градуировкой и дифференциалом де Рама возникающими из действия группы диффеоморфизмов суперточки.

> Тоже самое для комплексных многообразий — только здесь уже надо использовать пучки.

(Надо сказать, что теории схем сказочно повезло —
для схем координаты невозможно использовать в принципе.)

> Алгебраическая топология должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий, одновременно для топологических пространств и симплициальных множеств.

> Гомологическая алгебра должна формулироваться и излагаться на языке модельных категорий, без упоминания резольвент, кроме как при объяснении функтора (ко)фибрантной замены.

> Операды должны формулироваться и излагаться на языке свёртки Дея и подстановочного произведения.
_________________

Заметка: при первом квантовании Грассман надевает Клиффордову рубашку, а при вторичном Клиффордовы операторные штаны. Солидный смокинг.

Roger Penrose:
""
Люди говорят, и физики часто говорят: мы почти нашли решение великой теории вселенной, которая уже совсем близко --- теории всего. Я просто в это не верю. Я думаю, есть целые области, о которых у нас почти нет понимания, и довольно любопытно, что можно иметь взгляд, который охватывает (по крайней мере, в принципе) большую часть того, что вы видите вокруг себя, и объясняет, почему всё ведёт себя так или иначе.

Одна из главных вещей, которая не объяснена, просто игнорируется и заметается под ковёр физиками в целом --- это квантовая редукция состояния. Они говорят: квантовая теория --- прекрасная теория; она работает превосходно и описывает, как ведут себя мельчайшие частицы. Но, если говорить прямо, она даёт вам неправильный ответ. Теория говорит нам, что, например, если бы у вас был знаменитый кот Шрёдингера, кота вполне могли бы поместить в состояние одновременно живого и мёртвого. Это просто неверно; так не бывает. Так что же это такое? Я имею в виду, что в нашей картине мира чего-то большого не хватает, это огромный пробел, и это не просто мелкое явление, которое мы ещё не до конца ухватили, потому что нам нужно уточнить даже последний знак после запятой и константу связи или что-то в этом роде: это огромный аспект того, как ведёт себя мир, который мы попросту не понимаем [...]
""
Полное интервью на 18 страниц: (кажется, нужен vpn)
https://www.icmat.es/wordpress/wp-content/uploads/2021/08/InterviewWithPenrose.pdf

Stephen Hawking:
""
And at the end of all this, the fact that we humans, who are ourselves mere collections of fundamental particles of nature, have been able to come to an understanding of the laws governing us, and our universe, is a great triumph.
""

Brief answers to the big questions // Why we must ask the big questions.

Забавно, но это, казалось бы, техническое упражнение, в действительности open problem:

на S^6 построить комплексные карты c аналитическими отображениями склейки.

P.S. Пока есть только генеративные (читай - дегенеративные) попытки решения на архиве.

Для тех кто не видел: количество ежемесячных публикаций на arXiv в разделе math продолжает пробивать потолок.

It’s interesting that some people find science so easy and others find it kind of dull and difficult, especially kids. You know, some of them just eat it up. And I don’t know why it is. It’s the same perhaps, but also, for instance, lots of people love music and I never could carry a tune, and I lose a great deal of pleasure out of that. And I think people lose a lot of pleasure who find science dull. In the case of science, I think that one of the things that make it very difficult is it takes a lot of imagination. It’s very hard to imagine all the crazy things that things really are like.

- R. Feynman.

https://www.organism.earth/library/document/fun-to-imagine

The Quest to Define QFT.

12 страниц обзора, 50 страниц ссылок.

Удивительно [или нет?], сколько имеется способов разумно [или не очень, точнее, есть противоречивые аксиоматизации] аксиоматизировать весь этот квантовый зоопарк.

Прошу любить и жаловать:

1] Correlator-focused approaches:
- Wightman axioms,
- Axioms of Euclidean QFT,
- Constructive Field Theory.
2] Algebraic QFT (=AQFT):
- Haag-Kastler axioms,
- Perturbative AQFT,
- AQFT in curved space,
- Dynamical C^∗-algebras,
- Homotopical AQFT,
- Haag duality and DHR,
- Factorization algebras and Euclidean perturbative AQFT.
3] Atiah-Segal-like approach, or Functorial Field Theory (=FFT).
4] Conformal Field Theory (=CFT).

Полезный комментарий:

""
CFT's form a special subclass of QFT's as they correspond to fixed points of the RG flows. [...] Axiomatically, we could start with
any of the approaches reviewed above and specialize them to CFT's.
""


https://arxiv.org/abs/2203.08053


https://www.worldscientific.com/doi/10.1142/S0217751X23300028

Простите, но это действительно забавно.

Поле квантуется раз,
Поле квантуется два...

Ho(Cat) has pullbacks.

Некорректный пример в NLab:
https://ncatlab.org/nlab/show/Ho(Cat)

Объяснение на mathoverflow:
https://mathoverflow.net/questions/512690/example-of-a-fibre-product-that-does-not-exist-in-mathrmho-mathbfcat/512698#512698

The most incredible gravity algorithm you've ever seen.

Теорфизикам посвящается.

The asymptotic CPU time estimate for the algorithm of the present paper is of the order O(N), where N is the number of particles in the simulation.

Оригинальная версия:
1. https://doi.org/10.1016/0021-9991(87)90140-9

Адаптация:
2. https://doi.org/10.1126/science.265.5174.909

Дублирую в pdf.

Jacobian Conjecture.

Если кто-то не в курсе, гипотеза была
в общем виде сформулирована Стефаном Смейлом в его списке задач Mathematical Problems for the Next Century.

Контрпример найден моделью Fable (Anthropic) несколько дней назад.

Некоторые неочевидные приложения можно зайти здесь.

Подробнее в заметках Теренса Тао:

https://terrytao.wordpress.com/2026/07/21/a-digestion-of-the-jacobian-conjecture-counterexample/

стр. 93 из книги А. Хелемского "Лекции по функану".

page 35.

(-n)-categories, homotopy (-n)-type, etc.

Пара слов [к предпредыдущему посту] о расшиирении понятия n-категории на отрицательные n по по лекциям Бэза.

В теории n-категорий [для неотрицательных n] мы имеем объекты [= 0-морфизмы], морфизмы между объектами [= 1-морфизмы], морфизмы между морфизмами [= 2-морфизмы] и так далее до n.

Два j-морфизма называются [см. стр. 12] параллельными, если они имеют одинаковые domain и codomain, т.е.

dom(F) = dom(G), codom(F) = codom(G).

Причём 0-морфизмы считаются параллельными по определению, поскольку у объектов нет начала и конца [оставим это читателю как упражнение].

Параллельность необходима, чтобы имело смысл говорить о [j+1]-морфизме h: F -> G.

Для параллельных F и G определяется hom-категория hom[F,G], объектами которой являются [j+1]-морфизмы из F в G, а дальше - соответствующие естественные преобразования. И обратно, для F, G существует [n−1]-категория hom[F,G], называемая [см. стр. 12] микрокосмом.

Очевидно, что так мы получаем [n−m]-категорию для m итераций.

Ещё более очевидно, что для двух параллельных j-морфизмов F и G в n-категории, hom[F,G] является [n − j − 1]-категорией [см. стр. 13].

1. А если m >= n [см. стр. 13] ?

Если j = n, то hom[F,G] имеет порядок n − n − 1 = −1.

Таким образом, hom[F,G] это [-1]-категория. Что это за зверь такой?

Ob(hom[F,G]) = [n+1]-морфизмы.

Но в n-категории все [n+1]-морфизмы являются тождественными.

1.1) если F = G, то существует один тождественный [n+1]-морфизм, и hom[F,G] имеет один объект.
1.2) если F \neq G, то объектов нет.

Итого, [-1]-категория или с одним объектом или пустая. Это соответствует значениям [True] и [False]. Если угодно, Z/2Z.

2. Если m = n+1 [стр. 13] ?

Мы можем мыслить n-категорию как \infty-категорию с тождественными морфизмами на всех уровнях выше n. Тогда hom[F,G] имеет порядок n − [n+1] − 1 = −2. Это [-2]-категория.

В этом случае любые два параллельных [n+1]-морфизма являются тождественными и совпадают [поскольку в n-категории есть один тождественный [n+1]-морфизм для каждого n-морфизма]. Поэтому hom[F,G] всегда содержит один объект. Стало быть, [-2]-категория - это просто True.

3. Для n > 2 дальнейшее понижение даёт всё те же тривиальные [-m]-категории, которые все эквивалентны [-2]-категории. Происходит стабилизация: для всех m >= 2, [-m]-категория - по определению True. [стр. 13]

Что такое π_j [F] для отрицательных j [стр. 14] ?

Гомотопический [-1]-тип:

по определению это пространство (читай - гомотопический тип), которое является
0-типом [= дизъюнктным объединением стягиваемых компонент] и, кроме того,
любое отображение из S^0 в F продолжается до
отображения из D^1. Это условие означает, что F может иметь
либо одну стягиваемую компоненту, либо ни одной. Иначе говоря, F либо
одноточечно [с точностью до гомотопии], либо пусто.

Таким образом,
π_{-1}[F] - это True, если F непусто, False, если пусто.

Гомотопический [-2]-тип:

это [-1]-тип, для которого любое отображение из S^{-1} [= пустого множества] в F продолжается до отображения из D^0 [=точки].
Поскольку S^{-1} пусто, это условие эквивалентно тому, что F непусто.

Стало быть, F должен иметь ровно одну стягиваемую компоненту, т.е.
быть одноточечным с точностью до гомотопии. Значит, π_{-2}[F] всегда True.

Для n > 2: S^{-n} и D^{-n+1} также пусты [стр. 14], поэтому π_{-n}[F] всегда True. Опять стабилизация.

Итого, π_{-1}[F] - это утверждение о непустоте, а π_{-2}[F] -
тривиальное утверждение. Несложно заметить соответствие [-1]- и [-2]-категориям.

Нейрослоп, или Гамлет по Гротендику

Higher Categoty Theory и тд