(-n)-categories, homotopy (-n)-type, etc.

Пара слов [к предпредыдущему посту] о расшиирении понятия n-категории на отрицательные n по по лекциям Бэза.

В теории n-категорий [для неотрицательных n] мы имеем объекты [= 0-морфизмы], морфизмы между объектами [= 1-морфизмы], морфизмы между морфизмами [= 2-морфизмы] и так далее до n.

Два j-морфизма называются [см. стр. 12] параллельными, если они имеют одинаковые domain и codomain, т.е.

dom(F) = dom(G), codom(F) = codom(G).

Причём 0-морфизмы считаются параллельными по определению, поскольку у объектов нет начала и конца [оставим это читателю как упражнение].

Параллельность необходима, чтобы имело смысл говорить о [j+1]-морфизме h: F -> G.

Для параллельных F и G определяется hom-категория hom[F,G], объектами которой являются [j+1]-морфизмы из F в G, а дальше - соответствующие естественные преобразования. И обратно, для F, G существует [n−1]-категория hom[F,G], называемая [см. стр. 12] микрокосмом.

Очевидно, что так мы получаем [n−m]-категорию для m итераций.

Ещё более очевидно, что для двух параллельных j-морфизмов F и G в n-категории, hom[F,G] является [n − j − 1]-категорией [см. стр. 13].

1. А если m >= n [см. стр. 13] ?

Если j = n, то hom[F,G] имеет порядок n − n − 1 = −1.

Таким образом, hom[F,G] это [-1]-категория. Что это за зверь такой?

Ob(hom[F,G]) = [n+1]-морфизмы.

Но в n-категории все [n+1]-морфизмы являются тождественными.

1.1) если F = G, то существует один тождественный [n+1]-морфизм, и hom[F,G] имеет один объект.
1.2) если F \neq G, то объектов нет.

Итого, [-1]-категория или с одним объектом или пустая. Это соответствует значениям [True] и [False]. Если угодно, Z/2Z.

2. Если m = n+1 [стр. 13] ?

Мы можем мыслить n-категорию как \infty-категорию с тождественными морфизмами на всех уровнях выше n. Тогда hom[F,G] имеет порядок n − [n+1] − 1 = −2. Это [-2]-категория.

В этом случае любые два параллельных [n+1]-морфизма являются тождественными и совпадают [поскольку в n-категории есть один тождественный [n+1]-морфизм для каждого n-морфизма]. Поэтому hom[F,G] всегда содержит один объект. Стало быть, [-2]-категория - это просто True.

3. Для n > 2 дальнейшее понижение даёт всё те же тривиальные [-m]-категории, которые все эквивалентны [-2]-категории. Происходит стабилизация: для всех m >= 2, [-m]-категория - по определению True. [стр. 13]

Что такое π_j [F] для отрицательных j [стр. 14] ?

Гомотопический [-1]-тип:

по определению это пространство (читай - гомотопический тип), которое является
0-типом [= дизъюнктным объединением стягиваемых компонент] и, кроме того,
любое отображение из S^0 в F продолжается до
отображения из D^1. Это условие означает, что F может иметь
либо одну стягиваемую компоненту, либо ни одной. Иначе говоря, F либо
одноточечно [с точностью до гомотопии], либо пусто.

Таким образом,
π_{-1}[F] - это True, если F непусто, False, если пусто.

Гомотопический [-2]-тип:

это [-1]-тип, для которого любое отображение из S^{-1} [= пустого множества] в F продолжается до отображения из D^0 [=точки].
Поскольку S^{-1} пусто, это условие эквивалентно тому, что F непусто.

Стало быть, F должен иметь ровно одну стягиваемую компоненту, т.е.
быть одноточечным с точностью до гомотопии. Значит, π_{-2}[F] всегда True.

Для n > 2: S^{-n} и D^{-n+1} также пусты [стр. 14], поэтому π_{-n}[F] всегда True. Опять стабилизация.

Итого, π_{-1}[F] - это утверждение о непустоте, а π_{-2}[F] -
тривиальное утверждение. Несложно заметить соответствие [-1]- и [-2]-категориям.