Биномиальное распределение

Продолжаем разговор о распределениях!
Мы уже обсуждали дискретное равномерное и распределение Бернулли, второе нам сегодня и пригодится.

Погода на день и на неделю
Представим, что нас интересует, пойдёт ли снег.
Пусть вероятность того, что в каждый день на неделе пойдёт снег, равна 0.2. Значит, вероятность, что снег не пойдёт, равна 0.8. Пока мы говорим об одном дне — это распределение Бернулли.

Но как посчитать вероятность, что снег пойдёт в три дня на неделе? Здесь мы работаем с несколькими испытаниями Бернулли.
Будем считать, что погода в один день не влияет на погоду в другие, то есть наши испытания в нашей серии — независимы.

Определим количество исходов
В неделе 7 дней, значит, в произведении будет 7 множителей.
Нам не важно, в какие именно дни будет снег, а важно общее количество снежных дней на неделе. Подойдут и варианты пн-вт-ср, и ср-сб-вс, и пн-чт-сб и т.д.

Другими словами, нам надо «расставить» 3 снежных дня по 7 слотам. Снежные дни для нас одинаковы, так что их порядок не важен. Значит, рассчитать общее количество подходящих вариантов поможет формула для количества сочетаний:
С³₇=7!/((7-3)!⋅3!)=35.

Вероятность каждого исхода
В каждом подходящем случае в неделе будет 3 снежных дня и 4 бесснежных. Раз наши испытания Бернулли независимы, то вероятности каждодневных исходов перемножаются:
0.2³⋅0.8⁴.

Теперь соберём итоговую формулу — перемножим количество исходов и вероятность каждого исхода.
Получаем: 35⋅0.2³⋅0.8⁴ ≈ 0.11.

Значит, вероятность того, что снег будет ровно 3 дня на неделе, — около 11%.

Новое распределение
Последовательность величин Бернулли даёт новую случайную величину, равную количеству «успехов» в серии из n попыток. Такое распределение называют биномиальным и обозначают X~Binomial(n, p) или X~Binom(n, p).

Распределение так называется потому, что в формуле для расчёта вероятностей используются одноимённые коэффициенты!