Градуированные алгебры и число симплексов в триангуляциях

Пусть f_i(K) — число i-мерных симплексов в симплициальном комплексе K. Каким может быть набор чисел (f0,f1,...)? А если K — триангуляция фиксированного топологического пространства (скажем, n-мерной сферы)?

"Запреты" можно получать так: 1) по K строится алгебраический объект (скажем, векторное пространство),
2) сложная алгебраическая теорема позволяет про него что-то понять (скажем, его размерность равна f0(f0-1)/2-f1),
3) дальше можно вернуться в комбинаторику (размерность векторного пространства неотрицательна).

Я расскажу о двух красивых примерах и одной (возможно, малоисследованной) идее.

Планируется три лекции:
(1) Кольца Стэнли—Райснера и lower bound-теорема (про триангуляции комплексов Коэна—Маколея)
(2) Торические многообразия и g-теорема (про триангуляции сфер)
(3) Кошулевы алгебры и гипотезы про флаговые триангуляции