Математические байки

(2/2)

Кстати, а вот если взять случайный узор, то получается иллюстрация к теореме Шаля: при повороте на маленький угол рядом с центром поворота клетки почти не сдвигаются — так что картинка получается максимально прозрачной. А стоит от этого центра удалиться достаточно, чтобы сдвиг достиг одной клетки — и получается подкидывание двух независимых монеток, и сильно более «серая» картинка. Так что мы видим глазами центр совмещающего узоры поворота — и как он смещается, если параллельно одну из них перенести (spoiler: не как физическая точка!). Попробуйте, это очень интересно смотрится!

Ссылки
* П. Панов, “Как выглядит график синуса?”, Квант, 2020, № 3, 38–41
* Е. Бакаев, “Еще раз о графике синуса”, Квант, 2020, № 4, 11–15
* З. Пятакова, А. Пятаков, “О муарах, оживших иллюстрациях и пользе моделей”, Квант, 2010, № 6, 13–16
* Задача «Узоры двуслойного графена», И. Иванов, elementy.ru, 2014
* Конические сечения: муар, Математические Этюды
* Нониус (верньер), Математические Этюды
* Измерение штангенциркулем, Математическая Составляющая
* Теорема Шаля, Математические Этюды

Давайте я теперь скажу пару слов о том, что происходит. Вообще муары (муаровые узоры) — огромный пласт; мне нравится про них формулировка из Мат. Этюдов: «дополнительный геометрический узор, появляющийся при наложении двух изображений».

Тут мы накладываем две периодические решётки. Если бы поворота не было, а только сдвиг — то итоговая картина бы зависела от этого сдвига. Если сдвиг, скажем, на вектор, входящий в решётку периодов (по горизонтали и по вертикали на целое число клеток одинаковой чётности; например, (2,4)), то картинка относительно прозрачная: белые/прозрачные клетки одна над другой. Если сдвинуть по горизонтали и по вертикали на целое число клеток, но эти числа разной чётности (например, просто на одну клетку по горизонтали), то чёрные клетки одной решётки окажутся строго над белыми/прозрачными клетками другой. И в итоге вся картина станет максимально чёрной.

А за счёт поворота — то, как смещены друг относительно друга центры чёрных и белых клеток в разных частях рисунка, меняется. Но чем меньше угол поворота — тем медленнее (ведь, если поворота вообще нет, то и вектор сдвига везде один и тот же). Поэтому возникает крупномасштабная (относительно размера клеток) структура — светлая там, где белые клетки одна над другой, и тёмная там, где белую клетку закрывает чёрная.

Кстати, если одна из решёток не совпадает с другой, а её чуть-чуть меньше или больше (скажем, отличается умножением на 0.95 или 1.1) — мы увидим крупномасштабную структуру и без поворота. Именно поэтому мы её видим на этой фотографии моста: из решёток ограды одна чуть дальше, другая чуть ближе, поэтому в проекции на какую-нибудь общую «плоскость зрения» мы получаем решётки, отличающиеся растяжением в «отношение расстояний» раз. И вот и возникает крупномасштабная структура.

Более того: именно так работает дополнительная шкала на штангенциркуле! Я об этом узнал от Коли Андреева — а этот ролик Мат. Этюдов и соответствующая страница Мат. Составляющей («Нониус (верньер)»/Измерение штангенциркулем), да и вообще весь этот сюжет, IMHO, известны меньше, чем могли бы быть…

Допустим, что мы хотим измерять что-то с точностью до десятых долей миллиметра. Если бы мы попробовали нанести на штангенциркуль шкалу с шагом в десятую миллиметра — число насечек было бы в 10 раз больше обычного, и хочется сказать, что получилась бы полная каша. Поэтому — давайте на движущейся части штангенциркуля, кроме просто отметки 0, добавим ещё шкалу (точнее, её часть, первые 11 насечек) — с шагом не в 1мм, а в 0.9мм (или в 1.9мм). Тогда у нас есть две шкалы, чуть-чуть отличающиеся масштабом — и можно посмотреть, какое именно деление движущейся шкалы встало ровно напротив деления основной шкалы. Если измеряемое расстояние это целое число миллиметров, то это нулевое деление. Если оно на 0.1мм больше целого, то первое — как раз 0.1мм+0.9мм=1.0мм — целое число. Если на 0.2мм — то второе. И так далее! То есть номер (начиная с нуля) такого деления на дополнительной шкале — это как раз десятые доли миллиметра; и вот так их измеряют — с помощью всего лишь десятка дополнительных делений!

(1/2)

https://math.hse.ru/announcements/1085274889.html

в понедельник 22.09 в 16:20 на Матфаке ВШЭ (ауд. 427) — А.Ю.Окуньков. Старое и новое о квантовых группах в задачах исчислительной геометрии

Доклад будет введением в круг вопросов, о которых я планирую поговорить на спецкурсе в весеннем семестре. Многие возможно уже слышали, что геометрическая теория представлений позволяет довольно явно решить много задач исчислительной геометрии. В недавнее время, в этой области возникли как новые технические средства, так и новые задачи. Поэтому представляется осмысленным переизложить старую теорию в духе времени. Это будет целью спецкурса, а целью доклада будет понятно объяснить, о чем тут идет речь.

КВАНТИК ФЕСТ 2025

Дорогие друзья, открыта регистрация на Фестиваль журнала «Квантик», который уже в пятый раз пройдёт в Новой школе! В этом году КвантикФест состоится в субботу, 27 сентября, с 12:00 до 17:00.

Фестиваль журнала «Квантик» — отличная возможность получить новые знания через игру. В основном мероприятие рассчитано на учеников 2−8 класса, но мы уверены, что интересное для себя найдут и малыши, и более взрослые участники.

Участие в Фестивале бесплатное. Зарегистрироваться можно по ссылке: https://home.n.school/quantica_festival

Фестиваль откроет традиционная лекция главного редактора журнала «Квантик», Сергея Дориченко. Далее вас ждут игротека «Квантика», игры «Мышематики» от Жени Кац, головоломки Владимира Красноухова и Сергея Полозкова, которые представят сами авторы, станции от учителей Новой школы, книжная ярмарка издательства МЦНМО и многое другое!

Приглашаем школьников, их родителей и учителей!

Вживую — распечатал в двух экземплярах (с уменьшением, чтобы область можно было хорошо прижимать рукой), плотно приложил один лист к другому, и оба к окну. Эффект (под спойлером) вполне виден.

К вот этому — из схожих историй.

1) Давайте возьмём бумагу в клеточку и раскрасим клетки шахматным образом. А теперь возьмём два таких листа и наложим один из них на другой. Лучше всего — взяв верхний лист не из обычной бумаги, а из прозрачки [прозрачной плёнки для проектора]; ещё можно взять не слишком толстую бумагу, и смотреть на яркий свет на просвет, но так хуже видно. (На бумаге можно распечатать вот эту картинку.)
Пока листы наложены друг на друга без сдвига — ничего интересного не происходит. А что будет, если их начать вращать?
Вот тут — анимированная гифка с ответом. Мне это когда-то вживую показывал Тадаси Токиеда, и это смотрелось очень круто!

2) Ниже — фотография одного моста. Обратите внимание на узор, который возникает на ограде; к нему приводит тот же эффект.

знаете ли вы, как выглядит график синуса?

если да, то подумайте, какую картинку должен выдать код ниже… а потом посмотрите под спойлером на реальный результат

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-10, 10, 0.001)
y = np.sin(314*x)

plt.plot(x,y, marker='.', linestyle='none')
plt.show()

// из статьи П.Панова «Как выглядит график синуса?» в Кванте №3 за 2020 год — via С.Дориченко

Все ведь видели, что лунное затмение идёт? (Вот уже прямо сейчас, да!)
На всякий случай: в отличие от солнечного затмения (где нужно оказаться в очень удачном месте), чтобы видеть лунное, достаточно просто видеть Луну! Так что — посмотрите на небо!
(А если Луна у вас ещё не взошла, или прямо сейчас сплошная облачность — можно попробовать посмотреть ещё раз чуть позже, затмение длится несколько часов.)

https://t.me/astroblog/399
https://www.timeanddate.com/eclipse/lunar/2025-september-7

склеим стороны 2n-угольника попарно 'с сохранением ориентации' (без перекрутки) — какие поверхности могут при этом получиться?

если у квадрата склеивать соседние стороны, то (топологически) получится сфера, если противоположные — тор

если не думали никогда, как склеить подобным образом 'сферу с 2 ручками' (крендель), то полезно, конечно, задуматься



но еще можно задать вопрос про количества: сколькими способами можно склеить из 2n-угольника сферу с g ручками?

для g=0 после склейки граница превратится в плоское дерево (и наоброт, если обойти вокруг дерева, то можно увидеть границу многоугольника, приклееную к этому дерево — по две стороны с разных сторон каждого ребра)

то есть в роде 0 получаются милые многим числа Каталана — а интересно, что происходит дальше

тут повод сделать паузу и задуматься, как же по склейке понять, какая поверхность получается (требуется рецепт, достаточно конкретный, чтобы даже питон понял)



в следующий раз напишу, думаю, как это перебрать на компутере (ну… для небольших n — всего склеек (2n-1)!!, так что особо далеко так не уйдешь)

давно уже хотел это сделать, а тут нашелся повод

Можно ли в кубе проделать отверстие, в которое пройдет куб большего размера? Как ни странно, можно (попробуйте придумать как и/или посмотрите модель etudes.ru/models/prince-Rupert-cube/ Мат. этюдов).

А на сегодняшней картинке из свежего препринта arxiv.org/abs/2508.18475 — первый, говорят, пример выпуклого многогранника, про который получилось доказать, что он «не рупертов» (нельзя проделать дырку, через которую проходит такой же многогранник чуть большего размера).

(В т.ч. все правильные многогранники являются рупертовыми — но даже для правильного тетраэдра это не то что бы очевидно, попробуйте.)

// via Н.Медведь

https://kvant.mccme.ru/

архив номеров журнала «Квант» снова работает в штатном режиме

Я обещал естественным образом дойти до характеристических функций. Собственно, осталось совсем чуть-чуть: пока что, если у нас случайная величина ξ могла принимать конечное число неотрицательных целых значений — 0,1,2,… с вероятностями p_0, p_1, p_2,… — мы ей сопоставили многочлен-производящую функцию этих вероятностей,
F_ξ(x) = \sum_n p_n x^n.
И оказалось, что если случайные величины ξ и η независимы, то соответствующие функции перемножаются:
F_{ξ+η}(x) = F_ξ(x) F_η(x).
А что, если у нас случайная величина принимает уже все возможные неотрицательные целые значения? Ничего страшного, теперь F_ξ (x) это уже не многочлен, но всё ещё замечательно определённая при |x|<=1 функция, заданная, как сумма ряда (как раз ряд мажорируется просто суммой вероятностей p_n, равных 1).

А если разрешить все целые значения, включая отрицательные? Берём всё то же самое определение (кстати, давайте его ещё в виде математического ожидания запишем):
F_ξ(z) = \sum_n P(ξ=n) z^n = E z^ξ.

Теперь при |z|<1 из-за отрицательных степеней ряд может и разойтись — но при |z|=1 он опять сходится, а это целая единичная окружность на комплексной плоскости! Ну и все те же самые свойства остаются.

Наконец, остаётся последний шаг. А что, если случайная величина принимает уже любые вещественные значения, не обязательно целые? Даже если бы были рациональные — даже z^{1/2}=\sqrt{z} не будет однозначно определён на комплексной плоскости. Но вот если выбрать логарифм, то будет! А логарифм будет чисто мнимым, потому что |z|=1.

Запишем z=e^{it}, и заменим z^ξ на e^{itξ}. Вот мы и получаем классическое определение характеристической функции,
f_ξ(t):= E e^{itξ},
для которого выполняется всё то же самое замечательное тождество: при сложении независимых случайных величин их характеристические функции перемножаются.

Давайте теперь применим это к исходной задаче. Только для простоты уменьшим число очков на каждой из костей на 1: тогда на каждой из них выпадает от 0 до 5 очков, а сумма при независимом подбрасывании должна быть равномерно распределённой от 0 до 10.
Производящая функция для суммы —
(1/11) * (x^10 + … + x + 1),
и с точностью до множителя-константы (1/11) это сумма (конечной) геометрической прогрессии:
(x^11 -1) / (x-1).
В частности, (комплексные) корни этого многочлена мгновенно находятся: это корни 11-й степени из единицы, кроме собственно x=1.

Теперь — сразу видно, что исходные кости не могут быть одинаковыми: иначе производящая функция распределения суммы очков была бы квадратом многочлена, а у нас все корни простые (а должны были бы все быть чётной кратности).

Но и вообще в произведение двух многочленов пятой степени с вещественными коэффициентами нужная производящая функция не раскладывается. Потому что у этих многочленов были бы вещественные корни (они же нечётной степени!), а у нашего произведения все 10 корней — в комплексной области. Всё!

Правда, случай, если кости пяти- или семигранные и могут быть разными, так сделать уже не получится: многочлены, отвечающие костям, уже чётной степени, и в принципе могло бы быть так, что при каком-то разбиении (пар сопряжённых комплексных) корней на две группы многочлен (x^{2N+1}-1)/(x-1) раскладывался бы в произведение двух сомножителей N-й степени с вещественными положительными коэффициентами. Интересно было бы пройти этот путь до конца (скорее всего, аккуратно доказать невозможность — а если это вдруг возможно, то это очень неожиданно), но, каюсь, над этим я почти не думал.

К этому: давным-давно хочу написать про лекцию Дональда Кнута ко дню Пи — про неё несколько лет назад писали коллеги.

И начать хочу с той же задачи, с которой начинает Кнут. Бросим две обычные (честные!) игральные кости. Результат может быть от 2 до 12 очков — но (как известно любому игроку в настольные игры!) шанс выкинуть 7 очков (1/6) гораздо больше, чем выкинуть 2 или 12 очков (1/36). Так вот, вопрос:

А нельзя ли сделать такие две кости, чтобы суммарное число очков принимало все значения от 2 до 12 равновероятно?

Вопрос не такой очевидный — ведь если кинуть монетку, равновероятно падающую сторонами «0» и «1», и независимо от неё «трёхгранную» кость, равновероятно дающую «1», «3», и «5» — то суммарный результат будет равновероятно принимать все значения от 1 до 6 — то есть как раз быть обычной игральной костью.


И это тот сюжет, когда можно достаточно естественно если не придумать, то рассказать характеристические функции для случайных величин.
Пусть у нас есть случайная величина — результат бросания кости — которая принимает неотрицательные целые значения. Её распределение — это то, с какой вероятностью p_n принимается какое значение n. То есть последовательность чисел. А в стандартный — и очень мощный — приём в комбинаторике это превратить последовательность чисел p_n в производящую функцию
F(x) = \sum_n p_n x^n.

В скобках — в этом канале производящие функции уже несколько раз появлялись: вот тут в связи с числами Каталана, вот тут в связи с решёткой Е_8, вот тут в связи с разбиением числа в сумму слагаемых и пентагональной теоремой Эйлера и (чуть ниже) тройным произведением Якоби / предсказанием позитрона Дираком. Первая ссылка, которая мне тут приходит в голову — это отличные «Лекции о производящих функциях» Сергея Константиновича Ландо, насколько я понимаю, потом легшие в основу первой части его же книги «Введение в дискретную математику» (электронная версия / МЦНМО). Но я дальше буду писать так, как будто о производящих функциях мы ничего не знаем.

Так вот — пусть у нас есть две случайные величины: первая принимает значение n с вероятностью p_n, вторая — с вероятностью q_n. Соберём из этих последовательностей производящие функции:
F(x) = \sum_n p_n x^n.
G(x) = \sum_m q_m x^m.

Тогда, если эти случайные величины независимы, вероятность того, что первая приняла значение n, а вторая m, равно p_n q_m; в этом случае сумма принимает значение m+n, и соответствующий вклад в производящую функцию, которую мы сопоставим сумме величин, равен
p_n q_m x^{n+m} = (p_n x^n)* (q_m x^m).
То есть это произведение соответствующих мономов. Значит, производящая функция для распределения суммы независимых случайных величин — это просто произведение производящих функция для распределений слагаемых, F(x)*G(x) !

https://www.mpim-bonn.mpg.de/maninmemorial

конференция памяти Ю.И.Манина (11-15 августа; большинство докладов планируют транслировать)

возьмем какой-нибудь многочлен (от одной переменной) и возведем в большую степень

ну будет непонятное море мономов с большими коэффициентами… но тут уже обсужалось, что полезно сделать в таком случае: построить график

что мы увидим? почему?

под спойлером скрыт пример картинки (конкретно — `list_plot(((2+7*x+x^4+5*x^5)^57).coefficients(),plotjoined=True)`)

(такой иллюстрацией ЦПТ поделился Александр Ч. в комментариях у «Кроссворда Тьюринга»)

https://www.mathnet.ru/present50

напомним тж. лекцию С.Маркелова «Открытые проблемы элементарной геометрии» на ЛШСМ-2003 (конечно качество картинки и звука там совсем из других времен…)

🎬 Новое видео о математических бильярдах уже на канале. По мотивам лекции Сергея Маркелова «Открытые проблемы элементарной геометрии». Рекомендую смотреть на крупном экране и с хорошим звуком

#wildmathing #video

напомним также про книгу «Математический Петербург» (редактор-составитель Г.И.Синкевич, научный редактор А.И.Назаров)

электронная версия: https://www.mathsoc.spb.ru/history/MathSPb2ed.pdf / https://www.mathedu.ru/text/matematicheskiy_peterburg_2018/

бумажная книга: https://biblio.mccme.ru/node/130275

сегодня на ЛШСМ

в 11:15 — В.И.Богачев «Старые задачи иногда решаются (корреляционное неравенство и гипотеза Кантелли)», https://vkvideo.ru/video-65937233_456239369

в 15:30 — С.К.Смирнов «Мозаики, замощения, порядок и хаос», https://vkvideo.ru/video-65937233_456239370