Давайте теперь применим это к исходной задаче. Только для простоты уменьшим число очков на каждой из костей на 1: тогда на каждой из них выпадает от 0 до 5 очков, а сумма при независимом подбрасывании должна быть равномерно распределённой от 0 до 10.
Производящая функция для суммы —
(1/11) * (x^10 + … + x + 1),
и с точностью до множителя-константы (1/11) это сумма (конечной) геометрической прогрессии:
(x^11 -1) / (x-1).
В частности, (комплексные) корни этого многочлена мгновенно находятся: это корни 11-й степени из единицы, кроме собственно x=1.

Теперь — сразу видно, что исходные кости не могут быть одинаковыми: иначе производящая функция распределения суммы очков была бы квадратом многочлена, а у нас все корни простые (а должны были бы все быть чётной кратности).

Но и вообще в произведение двух многочленов пятой степени с вещественными коэффициентами нужная производящая функция не раскладывается. Потому что у этих многочленов были бы вещественные корни (они же нечётной степени!), а у нашего произведения все 10 корней — в комплексной области. Всё!

Правда, случай, если кости пяти- или семигранные и могут быть разными, так сделать уже не получится: многочлены, отвечающие костям, уже чётной степени, и в принципе могло бы быть так, что при каком-то разбиении (пар сопряжённых комплексных) корней на две группы многочлен (x^{2N+1}-1)/(x-1) раскладывался бы в произведение двух сомножителей N-й степени с вещественными положительными коэффициентами. Интересно было бы пройти этот путь до конца (скорее всего, аккуратно доказать невозможность — а если это вдруг возможно, то это очень неожиданно), но, каюсь, над этим я почти не думал.