склеим стороны 2n-угольника попарно 'с сохранением ориентации' (без перекрутки) — какие поверхности могут при этом получиться?

если у квадрата склеивать соседние стороны, то (топологически) получится сфера, если противоположные — тор

если не думали никогда, как склеить подобным образом 'сферу с 2 ручками' (крендель), то полезно, конечно, задуматься



но еще можно задать вопрос про количества: сколькими способами можно склеить из 2n-угольника сферу с g ручками?

для g=0 после склейки граница превратится в плоское дерево (и наоброт, если обойти вокруг дерева, то можно увидеть границу многоугольника, приклееную к этому дерево — по две стороны с разных сторон каждого ребра)

то есть в роде 0 получаются милые многим числа Каталана — а интересно, что происходит дальше

тут повод сделать паузу и задуматься, как же по склейке понять, какая поверхность получается (требуется рецепт, достаточно конкретный, чтобы даже питон понял)



в следующий раз напишу, думаю, как это перебрать на компутере (ну… для небольших n — всего склеек (2n-1)!!, так что особо далеко так не уйдешь)

давно уже хотел это сделать, а тут нашелся повод