Математические байки

И непериодический паркет (с той самой, недавно открытой, «шляпой Эйнштейна» — плиткой, из которой паркет можно сделать только непериодическим) у них тоже есть: https://etudes.ru/mathgrounds/aperiodic-tiling/

Кажется, я об этом ещё не писал, а между тем, у Мат.Этюдов за прошедшие полгода много чего появилось.
1) Раздел с материалами для игротек: https://etudes.ru/mathgrounds/
Если вдруг про «лабиринты» (https://etudes.ru/mathgrounds/labyrinths/ ) кажется, что будет банальность — нет, они с интересными правилами!
И вырезания из листа бумаги тоже интересные — там есть и вырезание длинного «ожерелья», и то разрезание склеенных листов Мёбиуса, при котором получаются два сердца! (Я про этот сюжет узнал когда-то от Тадаси Токиэды.)

Квартика Клейна: абажур в CIRM-е (и этикетка-описание-пояснение к нему)

почитать про нее можно в сборнике «The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve» https://library2.msri.org/books/Book35/contents.html

(в него входит, в частности, известная статья N.Elkies. The Klein Quartic in Number Theory)

https://math.ucr.edu/home/baez/klein.html

замощения сферы одинаковым правильными сферическими многоугольниками соответствуют правильным многогранникам

а что хорошего можно сделать из замощений плоскости Лобачевского?

если правильным образом их покрасить, а потом отождествить части одного цвета, можно получить интересные римановы поверхности

по ссылке объясняется, например, как таким образом получить квартику Клейна

https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/

у Мат. Этюдов недавно появились разные картинки и разговоры на тему [модели Пуанкаре] плоскости Лобачевского

в частности, можно смотреть на разные замощения плоскости Лобаческого одинаковыми правильными многоугольниками

Эти два скриншота — из написанной в те годы статьи Ф. Петрова и С. Тихомирова, «Об углах и расстояниях», по ссылке из недавнего поста в fp math.

У окружности есть повороты, сохраняющие её центр. Чтобы поворот не унёс наше «окно наблюдения» слишком далеко, поворачивать нужно на угол порядка (1/R). Тогда в пределе получатся параболические повороты — линейные преобразования
(x,y) -> (x+t, y+tx+(t^2/2)).

Углы превратятся в параболические углы — если раньше угол наклона прямой y=kx+c можно было определить как arctg k (мы пока не задумываемся про π и знак/ориентацию), то теперь это просто k. Потому что при обратном сжатии такая прямая превратится в почти горизонтальную, с коэффициентом k/R — а арктангенс маленького числа это почти что оно само. Зато никакого «полного угла» в параболическом смысле нет.

При этом словарь получается нетривиальным. То есть площадь это площадь и есть (просто при горизонтальном растяжении в R раз и вертикальном в R^2 она умножается на R^3 — но равные площади остаются равными). А вот с длинами интереснее — если мы из « параболической » картинки возвращаемся обратно, к окружности, то у нас вертикальное сжатие в R раз сильнее горизонтального, так что на длину результата практически влияет только разность абсцисс. Что, собственно, мы можем видеть на этой картинке: две касательных к параболе из заданной точки вовсе не равны (левый синий и красный отрезки). Но равны их разности абсцисс — компоненты, перпендикулярные оси параболы.

Давайте я чуть-чуть теперь скажу про то, откуда такой словарь берётся (или, точнее, может браться).

Возьмём окружность единичного радиуса, x^2+ (y-1)^2=1, и точку B=(0,0) на ней.
Растянем её во много раз (для начала в 10) вокруг точки B — посмотрим на её окрестность под увеличительным стеклом. Под увеличением окружность — как и любая гладкая кривая — становится всё больше похожа на касательную в той точке, вокруг которой мы увеличиваем. Так что казалось бы, ничего интересного мы так не увидим. Но!
Давайте дополнительно растягивать в направлении, перпендикулярном касательной, ещё во столько же раз. В итоге, если мы по горизонтали растягиваем в 10 раз — по вертикали мы растянем в 100. Под действием такого преобразования окружность начинает становиться всё больше похожей на параболу (в данном случае, на y=x^2/2)!

То есть можно брать верное семейство утверждений, у которых «всё самое интересное» происходит всё ближе и ближе к точке B, и смотреть на них через такое «кривое увеличение». В пределе из эллипсов, в которые мы растягиваем окружность, получится та самая парабола, и предельное утверждение про неё.

Так вот — в 1998 году на Летнюю Конференцию Турнира Городов Серёжа Маркелов предлагает задачу с большим словарём подобных задач (представляет её Михаил Вялый, помогает Вадим Бугаенко). Вот ещё один пример оттуда:

Задача 3а. Пусть даны две концентрические окружности. Выберем на внешней из них точку M. Фигура C_M образована двумя касательными из точки M к внутренней окружности и дугой этой окружности, заключённой между точками касания (см. рис. 3а). Докажите, что площадь фигуры C_M не зависит от выбора точки M.

Задача 3б. Пусть даны две параболы с общей осью, отличающиеся на сдвиг вдоль этой оси. Выберем на внешней из них точку M. Фигура P_M образована двумя касательными из точки M к внутренней параболе и дугой этой параболы, заключённой между точками касания (см. рис. 3б). Докажите, что площадь фигуры З_M не зависит от выбора точки M.

Изображения: рисунок к задаче и текст, предваряющий решения задачи, из материалов ЛКТГ.
(image credit: С. Маркелов, Парабола как окружность, https://turgor.ru/lktg/1998/lktg1998.pdf ; Десятая конференция ЛКТГ, М.: МЦНМО, 1999.)