TGViewer
Channel Public Channel
Математические байки

Математические байки

@mathtabletalks

Рассказы про разную математику.

Архив: http://dev.mccme.ru/~merzon/mirror/mathtabletalks/
Open in Telegram
Subscribers
4.31K
Photos
1.5K
Videos
15
Links
944

Showing posts older than #3814 · Back to latest

Older Posts 20 shown
Post #3813 758
Естественно, не могло обойтись без юмора. На скриншоте — сноска на странице 2 книги Ian G. Macdonald-а "Symmetric Functions and Hall Polynomials":
"Some authors (especially Francophones) prefer the convention of coordinate geometry (in which the first coordinate increases from left to right and the second coordinate from bottom to top) and define the diagram of λ to be the set of (i,j) \in Z^2 such that 1 \le i \le λ_j. Readers who prefer this convention should read this book upside down in a mirror."
Post #3812 727
Да — прежде, чем мы перейдём к доказательству, давайте я скажу пару слов о способах рисовать диаграмму Юнга. Мы уже прямо в этом рассказе видели, что строчки из квадратиков, соответствующие убывающим слагаемым, можно рисовать одну под другой (см.), а можно ставить одну на другую снизу вверх (см.). Первый способ называется английским, второй французским.
Post #3811 743
Математические байки А вот кадр из его же курса лекций в НМУ. Мы теперь узнаём почти всё, что написано на доске (а это всегда очень приятно!).
И вот в этом виде мы его и будем доказывать. Кстати — если обозначить левую часть через A(x,q), так это определение это в точности формула наверху центральной доски на фото выше.
Post #3809 796
Математические байки Photo
Но это мы пентагональную теорему вывели из тройного произведения. А как его доказывать?

Сначала — давайте его переформулируем эквивалентным образом: произведение (1-q^k), третья скобка, это обратный ряд к производящей функции для числа разбиений p(n). Соответственно — если мы это произведение перенесём в правую часть — как раз получится производящая функция для p(n):
Post #3808 811
А вот кадр из его же курса лекций в НМУ. Мы теперь узнаём почти всё, что написано на доске (а это всегда очень приятно!).
Post #3806 772
И пентагональная теорема из неё действительно выводится очень несложно: если подставить q^3 вместо q и -q^{-1} вместо x, то три скобки в левой части станут в точности произведением (1-q^j) из пентагональной теоремы — просто разбитым по тому, какой остаток степень j даёт при делении на 3. Если j=3k, то (1-q^j) получается из последней скобки, если j=3k-1, то из первой, а если j=3k-2, то из второй.
Ну а в правой части подстановка как раз и даёт обобщённые пятиугольные числа (со знаком, приходящим из x^j=(-q^{-1})^j) — в точности правую часть пентагональной теоремы.
Post #3805 788
Математические байки Photo
На вид выглядит несколько пугающе: ряды уже от двух формальных переменных, q и x, причём для x бывают ещё и отрицательные степени, и в левой части стоит произведение аж трёх разных скобок. Но на самом деле — совершенно не страшно (и мы с ней скоро разберёмся). И действительно сразу проглядывает похожесть на пентагональную теорему: в левой части произведения по всем j с q^j внутри сомножителей, в правой сумма, правда, с треугольными, а не с пятиугольными показателями степеней.
Post #3803 760
Математические байки Итак, пентагональная теорема Эйлера сформулирована. Осталось её доказать. Я знаю два её доказательства. Первое чуть более "лобовое": давайте раскроем все скобки в левой части — в произведении всех (1-q^j), и посмотрим, из чего складывается коэффициент при…
Третий способ доказывать пентагональную теорему (и первый, который я узнал) — через тройное произведение Якоби.

Вот его формулировка из уже упоминавшейся брошюры Е. Ю. Смирнова:
Post #3802 786
Математические байки pentagonal (1).pdf
И в этом тексте больше, чем в посте по ссылке выше — вот одна страница оттуда в качестве рекламы.
Post #3801 1.2K
pentagonal (1).pdf259.1 KB
Текущая версия-препринт текста Феди Петрова (спасибо ему за разрешение выложить!)
Post #3800 692
По-моему, очень красиво!
Post #3798 661
Если смотреть на 1-s — то оно разбивается по тому, какой самый левый прямоугольник остался пустым. Либо это левая клетка (вклад x), либо пустых клеток хотя бы две (выносим x^2), а во всех прямоугольниках левее того есть хотя бы по одной ёлке (иначе бы это был не самый левый), и мы получаем бесконечную сумму конечных произведений конфигураций "вот тут ёлок нет, а вот в каждом из этих прямоугольников хотя бы одна есть".
Post #3797 621
Вот пусть у нас есть квадратики, в каждом из которых независимо может вырасти ёлка с вероятностью (1-x) (и, соответственно, он остаётся пустым с вероятностью x).

Тогда в прямоугольнике 1xn не вырастает ни одной ёлки с вероятностью x^n — соответственно, хоть одна вырастает с вероятностью (1-x^n).

А произведение s=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)... — это вероятность того, что ни один из прямоугольников размера 1x1, 1x2, 1x3,... не останется пустым!
Post #3795 592
Математические байки (G. Andrews, Euler's pentagonal number theorem, Mathematics Magazine, vol. 56, 1983)
И ход доказательства Эйлера — это итеративное применение этого тождества.
Post #3794 556
(G. Andrews, Euler's pentagonal number theorem, Mathematics Magazine, vol. 56, 1983)
Older posts →
Threads Profile ViewerView any public Threads profile without an account.Open ThreadLook →Writing with AI? Make it sound human.Metric37 rewrites AI drafts so they read naturally. Free AI detector, 1,500 words free.Try Metric37 →