И пентагональная теорема из неё действительно выводится очень несложно: если подставить q^3 вместо q и -q^{-1} вместо x, то три скобки в левой части станут в точности произведением (1-q^j) из пентагональной теоремы — просто разбитым по тому, какой остаток степень j даёт при делении на 3. Если j=3k, то (1-q^j) получается из последней скобки, если j=3k-1, то из первой, а если j=3k-2, то из второй.
Ну а в правой части подстановка как раз и даёт обобщённые пятиугольные числа (со знаком, приходящим из x^j=(-q^{-1})^j) — в точности правую часть пентагональной теоремы.