Но это мы пентагональную теорему вывели из тройного произведения. А как его доказывать?

Сначала — давайте его переформулируем эквивалентным образом: произведение (1-q^k), третья скобка, это обратный ряд к производящей функции для числа разбиений p(n). Соответственно — если мы это произведение перенесём в правую часть — как раз получится производящая функция для p(n):