Математические байки

Один кадр оттуда "для завлекательности"
(Image credit: 3blue1brown, https://www.youtube.com/watch?v=HEfHFsfGXjs )

В качестве ответвления — даже если притяжения нет, а только точки движутся по прямой, получается интересная вещь: число соударений в простой конфигурации из стенки (т.е. бесконечной массы) и двух сильно разных масс оказывается связанной с числом π!

Вот статья Г. А. Гальперина об этом — https://www.maths.tcd.ie/~lebed/Galperin.%20Playing%20pool%20with%20pi.pdf — и видео 3blue1brown об этой задаче: https://www.youtube.com/watch?v=HEfHFsfGXjs

Поэтому пока в системе происходят только попарные столкновения — за них динамику можно продолжать, заменяя каждое упругим соударением. В частности — можно запускать и динамику на прямой, где получается смесь между абсолютно упругими соударениями и динамикой притягивающихся точек.

В 1975 году появилась работа Mather и McGehee — в которой был построен пример такого странного поведения, но... для системы на прямой.
Естественный вопрос — как это на прямой?! Там же просто произойдёт столкновение и ничего интересного не будет.

Дело в том, что мы можем "вырождать" динамику в R^3: представим себе, что наши материальные точки движутся не совсем идеально по одной и той же прямой, а только очень близко к ней. И вообще, если у нас в R^3 две точки должны были столкнуться — можно чуть-чуть сдвинуть одну из них, чтобы она мимо другой промахнулась (и пролетела по гиперболе). А потом посмотреть, что происходит, когда сдвиг стремится к нулю.

Оказывается, что предел есть, и формулируется очень разумно. А именно, гипербола вырождается в пролёт туда-обратно (угол между её асимптотами стремится к развёрнутому), и в пределе мы получаем абсолютно упругое столкновению (изменение знака скоростей в момент столкновения в системе, связанной с их центром масс).

А аналогия совсем из небесной механики — это гравитационный маневр, когда станция пролетает мимо какого-нибудь другого небесного тела, и в связанной с ним системе отсчёта просто пролетает по гиперболе (аналог упругого соударения шарика с ракеткой), а в исходной системе отсчёта не только меняет направление, но и модуль скорости.

Кстати, чем более "издалека" мы смотрим, тем точнее аналогия с абсолютно упругим соударением двух шариков. Тут и там есть закон сохранения энергии и закон сохранения момента импульса. Когда два шарика далеко друг от друга — они уже почти не взаимодействуют; так не всё ли равно, как было устроено их взаимодействие — физическим соударением или тяготением?

Ещё интересно, что применяется гравитационный манёвр не только для того, чтобы набирать скорость и улетать далеко от Солнца (самый известный пример — те же Вояджеры), но и чтобы замедлиться: иначе к Меркурию или вообще к Солнцу не добраться, слишком большую скорость нужно сбросить.

(Кажется, осознал я это после статьи Валерии Сироты в "Квантике" про Меркурий, которая как раз с гравитационного манёвра начинается; конечно, когда оно сформулировано, то становится понятно, но как-то я раньше не задумывался, что тормозить тоже нужно так; кстати — текст про гравитационный манёвр [окончание + чуть более вводное начало] у неё там тоже очень хороший.)
И собственно, мы это видим и прямо сейчас — см. траектории солнечного зонда Parker и летящей к Меркурию миссии BepiColombo.

В качестве прикидки — давайте на секунду представим, что сначала баскетбольный шарик ударился о землю, а уже потом, через долю секунды, об него ударился шарик за ним. Тогда этот меньший шарик отскочит с почти утроенной скоростью!

(выкладки — можно пропустить или сделать самому)
Тогда верхний шарик летит вниз со скоростью v, а баскетбольный уже вверх с той же (почти) скоростью v. А при упругом соударении тяжелого объекта со скоростью u с сильно более лёгким, движущимся ему навстречу со скоростью v, лёгкий отскочит со скоростью (почти) 2u+v: вообще-то нужно переходить в систему центра масс, но когда один из объектов тяжёлый, можно просто перейти в его систему отсчёта. Там лёгкий с какой скоростью (u+v) летит, с такой и отскочит — но в другую сторону, так что возврат в исходную систему отсчёта добавит ещё одно u.

Собственно, это очень хорошо видно, если жонглировать мячиком для пинг-понга, подбивая его снизу ракеткой: если ракетка в момент приёма идёт "вниз", то шарик отскочит с меньшей скоростью, а если вперёд, то с большей.

Оказывается, что да! И очень правильная и красивая иллюстрация тут — вот такой опыт: если на улице (!) положить друг на друга баскетбольный и теннисный мяч и уронить, то в результате двойного соударения теннисный мяч подскочит довольно высоко. (NB: не надо это делать рядом с домами/окнами/чем-то легкобьющимся!)

Если вы этого никогда не делали — вот тут роняют стопку из трёх шаров:

https://youtu.be/2UHS883_P60?t=12

Давайте я закончу этот рассказ — посмотрим, как именно система уравнений небесной механики может "ломаться" без того, чтобы какие-то два (точечных) тела сталкивались. Для начала — а как вообще такое может происходить?

Пусть у нас есть конечное число материальных точек, которые друг с другом взаимодействуют по закону всемирного тяготения: сила, с которой взаимодействуют две частицы, равна
G m_1 m_2 / r_{12}^2.
Механика классическая, никакой теории относительности (и это важно).

Естественно, есть закон сохранения энергии. Если в какой-то момент у нас все расстояния между частицами не меньше какого-то \eps, а мы знаем полную энергию системы — то это даёт ограничение сверху на кинетическую энергию и потому на скорости частиц, а значит, ограничение снизу на время, в течение которого дифференциальное уравнение "точно не сломается".

Поэтому если система в какой-то момент t_* ломается, то наименьшее расстояние между частицами r_{min}(t) должно в этот момент стремиться к 0.

Но если особенность (т. е. то, как "ломается" решение) не типа столкновения (то есть не такого типа, что у всех частиц есть в этот момент предел, просто у каких-то частиц он совпадает), то у какой-то частицы в этот момент предела быть не должно. Значит, её скорость должна устремиться к бесконечности — а она должна начать "метаться" всё сильнее и сильнее ("как sin(1/x)").

Более того. Как показал в работе ещё 1908 года фон Цейпель (von Zeipel), если особенность не типа столкновения — то "линейный размер" системы (например, максимальное расстояние от точек до центра масс) должен в этот момент устремиться к бесконечности!

Наконец, когда мы приближаемся к моменту особенности — сила, с которой взаимодействуют далеко друг от друга отстоящие тела, на этом (очень маленьком) масштабе времени почти не влияет на их траектории. Так что мы практически смотрим на тела или их почти слипшиеся кластеры, которые могут двигаться только почти по прямым и как-то друг с другом "почти сталкиваться (и разлетаться)".

И — да полноте, а можно ли в такой ситуации обеспечить беготню (хотя бы) одного тела взад-вперёд, которая ещё и должна какие-то тела выбросить на бесконечность за конечное время?

http://www.mi-ras.ru/index.php?c=noc2021_2

и 8 же февраля начинается семестр в НОЦ МИАН

https://ium.mccme.ru/s21/s21.html

в понедельник (8 февраля) начинается семестр в Независимом Московском университете

формат будет смешанный: будут как очные, так и дистанционные¹ занятия; приглашаются, как обычно, все желающие серьезно заниматься; подробности появляются на сайте

¹ в качестве бонуса дистанционных занятий — например, курсы Игоря Пака и Леонида Петрова (которые физически находятся в Америке)

Так вот — оказывается, что это действительно возможно!

Казалось бы, а что тут такого удивительного, вроде как дифференциальное уравнение и будет продолжаться, пока "не сломается". Но если мы под "столкновением" понимаем, что при приближении к критическому моменту у всех положений тел предел есть, и у хотя бы двух из них он совпадает — то бывает не только это! Возможно, у положения наших материальных точек просто не будет предела в этот момент.

В самом конце стокгольских лекций Пенлеве обсуждает задачу n тел и доказывает, что в задаче трёх тел единственная проблема, которая может возникнуть с продолжимостью решения, это столкновение:

А вот сразу за содержанием (которое идёт в конце введения) начинается красота:

Введение к запискам стокгольмских лекций выглядит вполне обычно-типографски: